Тест на уровень знаний
Подберите задачи для теста по своим критериям.
Вступительные экзамены в физматшколы
Вступительные экзамены в 5-й класс физматшкол Петербурга и Москвы за разные годы.
Хотите больше материалов по математике?
Курс по подготовке ребёнка к поступлению в 5-е классы престижных школ и к олимпиадной
математике.
Стоимость:
1 990 руб.
1 990 руб.
16 часов
видео
видео
Набор задач для самостоятельного решения
Видеоматериал, где подробно рассказывается, как решать задачи по следующим темам:
- Задачи на движение
- Уравнения и решение задач с помощью уравнений
- Системы уравнений и решение задач с помощью систем уравнений
- Периметр, площадь и объём фигур
- Упрощение выражений
- Множества
- Чет-нечет
- Задачи, связанные с календарём
- Свойства чисел
- Части
- Ряды
- Распилы
- Разрезание геометрических фигур
- Комбинаторика
- Взвешивание и переливание
Задачи на сумму цен и весов
Рассказываем простым языком, как в 4-5 классе решать задачи, где фигурирует суммарная цена или масса разных вещей, и надо вычислить цену или массу некоторых из них.
Задачи, о которых пойдёт речь ниже, часто можно решить обычной системой уравнений. Однако, так как в 4-м классе дети обычно системы уравнений решать не умеют (хотя в самые престижные физматшколы могут попадаться задачи, которые можно решить только с помощью системы уравнений, и поэтому у нас для них есть специальный раздел на сайте), то мы покажем, как решать такие задачи, не зная про системы уравнений.
Задачи про суммарную цену и суммарный вес мы выделили в отдельный раздел, так как они часто встречаются на математических олимпиадах и вступительных экзаменах в 5-й класс престижных школ.
В магазине 3 ручки и 1 тонкая тетрадка в клетку стоят столько же, сколько 7 тонких тетрадок в клетку. Одна тетрадка стоит 8 рублей 50 копеек. Сколько стоит 1 ручка?
Решение
Введём обозначения:
Т - цена тетрадки
Р - цена ручки
Из условия задачи известно, что
3 ручки и 1 тетрадка = 7 тетрадок.
Запишем это так:
3Р + 1Т = 7Т
Так как это равенство, то мы можем проводить привычные операции над равенствами, например, складывать или вычитать одно и то же значение из левой и правой части равенства.
В данном случае напрашивается вычесть одну 1Т из левой и правой части.
Получится, что
3Р = 6Т, то есть три ручки равны шести тетрадкам
Сокращаем обе части равенства на 3, получаем
Р = 2Т
То есть цена одной ручки равна цене двух тетрадок.
Цена тетрадки - 8 руб. 50 коп
Р = 2 * (8 руб. 50 коп) = 17 руб.
Если ребёнок ещё не умеет работать с дробями, то умножение 8 руб. 50 коп на два надо представить как сумму 2*8 и ещё двух половинок одного рубля, которые составляют 1 рубль. Таким образом, 16 + 1 = 17.
Ответ: 17 рублей
В школьной столовой Петя купил 2 пирожка с капустой и 1 рогалик и заплатил 50 рублей. Вовочка за 70 рублей купил 1 рогалик и 3 пирожка с капустой. Сколько стоит рогалик? Сколько стоит пирожок с капустой?
Решение
Введём обозначения:
К - цена пирожка с капустой
Р - цена рогалика
Запишем равенство
2 пирожка с капустой (К) и 1 рогалик (Р) = 50 рублей.
то есть
2П + Р = 50
3 пирожка с капустой и 1 рогалик = 70 рублей
то есть
3П + Р = 70
Таким образом:
2К + Р = 50
3К + Р = 70
Теперь мы можем узнать, что получится, если Вовочка купит не три пирожка с капустой и один рогалик, а на два пирожка с капустой и один рогалик меньше.
Два пирожка с капустой и один рогалик - это, как мы видим из первого равенства - 50 рублей.
Вычтем из трёх пирожков с капустой два пирожка с капустой и из одного рогалика один рогалик. Получим, что
(3К - 2К) + (Р - Р) = 20
После раскрытия скобок получаем
К = 20
То есть мы нашли цену пирожка с капустой - 20 рублей. Осталось найти стоимость рогалика. Это очень просто. Подставим стоимость пирожка с капустой в любое из двух равенств:
2∙20 + Р = 50
Р = 50 - 40
Р = 10 рублей
Те, кто знаком с решением систем уравнений, заметили, что применённый нами приём - это как раз один из способов решения систем уравнений - а именно вычитание одного уравнения из другого - то есть вычесть правую часть одного уравнения из правой части другого, и левую часть одного уравнения из левой части другого.
Как вы видите, не зная про системы уравнений, можно путём логических рассуждений в итоге прийти к тому же самому методу решения задачи, что и используя системы уравнений.
Ответ: пирожок с капустой - 20 рублей, рогалик - 10 рублей
В кафе две чашки чая, один эклер и четыре корзиночки стоят 480 руб, а четыре чашки чая, пять эклеров и две корзиночки — 660 руб. Сколько рублей заплатила девочка за покупку одной чашки чая, одного эклера и одной корзиночки?
Решение
Введём обозначения:
Ч - цена чашки чая
Э - цена эклера
К - цена корзиночки
Составим равенства:
2Ч + 1Э + 4К = 480
4Ч + 5Э + 2К = 660
Если бы у нас второе равенство было бы вот такое - 3Ч + 2Э + 5К = 660, то мы могли бы, по аналогии с предыдущей задачей, вычесть из второго равенства первое и получили бы, что
Ч + Э + К = 180 - а это как раз то, что нам нужно по условию задачи. Но второе равенство у нас 4Ч + 5Э + 2К = 660, и если мы из второго вычтем первое, то Ч + Э + К не получится, более того, при вычитании из 2К 4К получится отрицательное число -2К, а с отрицательными числами дети в четвёртом классе работать ещё не умеют.
Поэтому мы пойдём другим путём. Обратим внимание, что если сложить равенства, то в правой части получится 6 чашек чая, 6 эклеров и 6 корзиночек - то есть цифры будут одинаковые.
Итак, сложим равенства:
(4Ч + 5Э + 2К) + (2Ч + 1Э + 4К) = 660 + 480
6Ч + 6Э + 6К = 1140
Теперь разделим обе части равенства на 6:
(6Ч + 6Э + 6К):6 = 1140:6
Ч + Э + К = 190 руб
Мы решили задачу - одна чашка чая, один эклер и одна корзиночка стоят в сумме 190 руб.
Обратим внимание, что для решения задачи нам не понадобилось знать цену этих вещей по отдельности. Мы проявили наблюдательность и увидели, что при суммировании обеих выражений коэффициенты при Ч, Э и К станут одинаковыми (то есть станет одинаковым число чашек, эклеров и корзиночек), и это нам позволит разделить обе части равенства на это число, что нам и даст суммарную цену Ч, Э и К.
Ответ: 190 рублей
Задачи про суммарную цену и суммарный вес мы выделили в отдельный раздел, так как они часто встречаются на математических олимпиадах и вступительных экзаменах в 5-й класс престижных школ.
Задача 1
В магазине 3 ручки и 1 тонкая тетрадка в клетку стоят столько же, сколько 7 тонких тетрадок в клетку. Одна тетрадка стоит 8 рублей 50 копеек. Сколько стоит 1 ручка?
Хотите, чтобы ваш ребёнок обучался самостоятельно?
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС
Решение
Введём обозначения:
Т - цена тетрадки
Р - цена ручки
Из условия задачи известно, что
3 ручки и 1 тетрадка = 7 тетрадок.
Запишем это так:
3Р + 1Т = 7Т
Так как это равенство, то мы можем проводить привычные операции над равенствами, например, складывать или вычитать одно и то же значение из левой и правой части равенства.
В данном случае напрашивается вычесть одну 1Т из левой и правой части.
Получится, что
3Р = 6Т, то есть три ручки равны шести тетрадкам
Сокращаем обе части равенства на 3, получаем
Р = 2Т
То есть цена одной ручки равна цене двух тетрадок.
Цена тетрадки - 8 руб. 50 коп
Р = 2 * (8 руб. 50 коп) = 17 руб.
Если ребёнок ещё не умеет работать с дробями, то умножение 8 руб. 50 коп на два надо представить как сумму 2*8 и ещё двух половинок одного рубля, которые составляют 1 рубль. Таким образом, 16 + 1 = 17.
Ответ: 17 рублей
Задача 2
В школьной столовой Петя купил 2 пирожка с капустой и 1 рогалик и заплатил 50 рублей. Вовочка за 70 рублей купил 1 рогалик и 3 пирожка с капустой. Сколько стоит рогалик? Сколько стоит пирожок с капустой?
Решение
Введём обозначения:
К - цена пирожка с капустой
Р - цена рогалика
Запишем равенство
2 пирожка с капустой (К) и 1 рогалик (Р) = 50 рублей.
то есть
2П + Р = 50
3 пирожка с капустой и 1 рогалик = 70 рублей
то есть
3П + Р = 70
Таким образом:
2К + Р = 50
3К + Р = 70
Обратим внимание, что в первом случае мы купили 3 пирожка с капустой, а во втором два. То есть если вычесть два из трёх, то останется один пирожок с капустой, а нам как раз надо узнать его цену.
Теперь мы можем узнать, что получится, если Вовочка купит не три пирожка с капустой и один рогалик, а на два пирожка с капустой и один рогалик меньше.
ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.
Два пирожка с капустой и один рогалик - это, как мы видим из первого равенства - 50 рублей.
Вычтем из трёх пирожков с капустой два пирожка с капустой и из одного рогалика один рогалик. Получим, что
(3К - 2К) + (Р - Р) = 20
После раскрытия скобок получаем
К = 20
То есть мы нашли цену пирожка с капустой - 20 рублей. Осталось найти стоимость рогалика. Это очень просто. Подставим стоимость пирожка с капустой в любое из двух равенств:
2∙20 + Р = 50
Р = 50 - 40
Р = 10 рублей
Те, кто знаком с решением систем уравнений, заметили, что применённый нами приём - это как раз один из способов решения систем уравнений - а именно вычитание одного уравнения из другого - то есть вычесть правую часть одного уравнения из правой части другого, и левую часть одного уравнения из левой части другого.
Как вы видите, не зная про системы уравнений, можно путём логических рассуждений в итоге прийти к тому же самому методу решения задачи, что и используя системы уравнений.
Ответ: пирожок с капустой - 20 рублей, рогалик - 10 рублей
Задача 3
В кафе две чашки чая, один эклер и четыре корзиночки стоят 480 руб, а четыре чашки чая, пять эклеров и две корзиночки — 660 руб. Сколько рублей заплатила девочка за покупку одной чашки чая, одного эклера и одной корзиночки?
Решение
Введём обозначения:
Ч - цена чашки чая
Э - цена эклера
К - цена корзиночки
Составим равенства:
2Ч + 1Э + 4К = 480
4Ч + 5Э + 2К = 660
Если бы у нас второе равенство было бы вот такое - 3Ч + 2Э + 5К = 660, то мы могли бы, по аналогии с предыдущей задачей, вычесть из второго равенства первое и получили бы, что
Ч + Э + К = 180 - а это как раз то, что нам нужно по условию задачи. Но второе равенство у нас 4Ч + 5Э + 2К = 660, и если мы из второго вычтем первое, то Ч + Э + К не получится, более того, при вычитании из 2К 4К получится отрицательное число -2К, а с отрицательными числами дети в четвёртом классе работать ещё не умеют.
ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.
Поэтому мы пойдём другим путём. Обратим внимание, что если сложить равенства, то в правой части получится 6 чашек чая, 6 эклеров и 6 корзиночек - то есть цифры будут одинаковые.
Итак, сложим равенства:
(4Ч + 5Э + 2К) + (2Ч + 1Э + 4К) = 660 + 480
6Ч + 6Э + 6К = 1140
Теперь разделим обе части равенства на 6:
(6Ч + 6Э + 6К):6 = 1140:6
Ч + Э + К = 190 руб
Мы решили задачу - одна чашка чая, один эклер и одна корзиночка стоят в сумме 190 руб.
Обратим внимание, что для решения задачи нам не понадобилось знать цену этих вещей по отдельности. Мы проявили наблюдательность и увидели, что при суммировании обеих выражений коэффициенты при Ч, Э и К станут одинаковыми (то есть станет одинаковым число чашек, эклеров и корзиночек), и это нам позволит разделить обе части равенства на это число, что нам и даст суммарную цену Ч, Э и К.
Ответ: 190 рублей
Дата публикации
Задачи раздела:
Один кусок шерстяной материи стоил 1196 рублей, а другой кусок такой же материи – 1518 рублей. В первый день было продано материи на 621 рубль, во второй день – на 51 рубль, а в третий день – оставшиеся 54 метра. Сколько метров шерстяной материи в двух кусках?
Три открытки и четыре конверта стоят 18 рублей, а шесть открыток и пять конвертов – 27 рублей. Сколько стоит открытка и сколько стоит конверт? Запишите решение и ответ.
Если Андреев даст Петрову 300 рублей, то денег у них станет поровну.
На сколько у Андреева денег больше, чем у Петрова?
В многодетной семье 5 мальчиков. Андрей и Толя вместе весят 40 кг. Толя и Макар весят 50кг. Макар и Вася весят 90 кг. Вася и Дима весят 100 кг. Дима и Андрей – 60 кг. Сколько весит Макар?
Дети пошли в лес за грибами. Тоня и Маруся нашли вместе 21 гриб, Тоня и Вика нашли вместе 23 гриба, Маруся и Вика – 26 грибов. Сколько всего грибов нашли девочки?
Катя купила 2 маркера 4 тетрадки и 2 ластика, а Света купила 1 тетрадку, 3 ластика и 3 маркера. Сколько стоит комплект из 1 маркера, 1 тетрадки и 1 ластика, если Катя за свои покупки заплатила 140 рублей, а Света - 160 рублей?
Вася купил в школьной столовой 2 пирожных, 4 конфеты и 2 шоколадных батончика, а Марина купила 1 конфету, 3 шоколадных батончика и 3 пирожных. Сколько стоит конфета, если Вася за свои покупки заплатил 440 рублей, а Марина – 560?
В магазине 3 вилки и 2 ложки стоят 99 рублей, а 5 вилок и 4 ложки стоят 183 рубля. Сколько стоит 1 вилка и 1 ложка в отдельности?
Продавщица в Анапе взвешивала товар. У нее получилось, что 3 корзинки клубники и 2 корзинки малины весят столько же сколько 9 стаканов ежевики. 3 корзинки клубники и 6 корзинок малины весят столько же, сколько 15 стаканов ежевики. Один стакан ежевики весит 100 грамм. Сколько грамм вместе весят 3 стакана ежевики и 2 корзинок малины?
Фермеру 5 уток, 4 поросенка и 1 индюк обошлись в 140 долларов, а 2 утки, 3 поросенка и 6 индюков в 160 долларов. Сколько стоят 1 поросенок, 1 утка и 1 индюк?
