Три способа решения задач про количество ног у двух видов животных

На вступительных экзаменах в физматшколы и на математических олимпиадах часто можно встретить вот такого рода задачи:

В клетке сидят куры и кролики. У них в сумме 40 голов и 124 ноги. Сколько кур и сколько кроликов в клетке?

Решать их можно тремя способами - арифметически по действиям, с помощью уравнений и с помощью системы уравнений. Среди педагогов ведутся дискуссии о том, как именно учить решать детей такого рода задачи и какое решение можно от них требовать.

С одной стороны, решить такую задачу с помощью уравнений просто, а с помощью системы уравнений ещё проще – и именно такого решения могут требовать на вступительных экзаменах. С другой стороны, противники такого метода говорят, что для развития логического мышления в 4-м классе полезней показать, как такую задачу можно решить без уравнений – т.к. решать уравнениями ребёнок неизбежно научится позже. И какие-то школы на вступительных экзаменах могут требовать решения задачи именно арифметически, а не через уравнения. Мы же покажем все три способа.

Итак, повторим условие задачи:

В клетке сидят куры и кролики. У них 40 голов и 124 ноги. Сколько кур и сколько кроликов в клетке?



Способ 1. Арифметическое решение

В задаче две неизвестных – число куриц и число кроликов. Попробуем обойтись без введения неизвестных x и y и решим задачу путём логических рассуждений и простейших арифметических действий.

Предположим, что в клетке сидят только куры. У каждой курицы (как и у каждого кролика) только одна голова. Значит если по условию задачи мы имеем 40 голов в клетке, и в клетке только курицы, значит в клетке 40 куриц.

1) У каждой курицы по 2 ноги, значит у 40 куриц 80 ног: 40∙2 = 80.
2) Однако, по условию задачи, в клетке не 80 ног, а 124. Значит мы не учли 124-80 = 44 ноги.

Как мы знаем, у кроликов 4 ноги. При этом, предполагая, что в клетке только курицы, мы уже учли по две ноги каждого кролика (предполагая, что это куриные ноги). Остались неучтёнными по 2 других ноги каждого кролика.

Как мы уже вычислили выше, всего у нас 44 неучтённых ноги. Значит, раз на каждого кролика по 2 неучтённых ноги, то получается, что кроликов 44:2 = 22 штуки.
Итак, число кроликов мы узнали. Т.к. в сумме кур и кроликов 40, то число кур мы легко находим:

40 – 22 = 18

Всего в клетке 18 кур и 22 кролика.
Проверим наше решение, подсчитав общее число ног.

Число ног у кроликов:

22∙4 = 88

Число ног у кур:

18∙2 = 36

Общее число ног кур и кроликов: 88+36 = 124 – что соответствует условию задачи. Значит задача решена верно.



Ответ: 22 кролика, 18 куриц

Вроде бы в этой задачи достаточно простые рассуждения, но для учения 4-го класса они могут быть вовсе не очевидными. Если он знаком с решением уравнений, то для него значительно более простым может оказаться решение через уравнение.

Способ 2. Решение через уравнение

Введём обозначение:

x - число куриц
40 – x – число кроликов

Составим уравнение для числа ног, зная, что у куриц 2 ноги, а у кроликов 4

2x + 4(40-x) = 124
2x + 160 – 4x = 124
160 - 124 = 4x - 2x
36 = 2x
x = 18

Итак, число куриц: 18
Число кроликов: 40 – 18= 22

Ответ: 22 кролика, 18 куриц

Мы получили тот же ответ, что и в первом способе

Способ 3. Решение через систему уравнений

Введём обозначения:

x – число куриц
y – число кроликов

Составим систему уравнений:


Выразим x из первого уравнения
x = 40 – y

Подставим x во второе уравнение:
2(40 – y) + 4y = 124

80 – 2y + 4y = 124
2y = 44
y = 22
x = 40 – 22 = 18

Ответ: 22 кролика, 18 куриц