Основные принципы решения уравнений

В этом уроке мы рассмотрим, что такое уравнения, для чего они нужны, основные методы решения уравнений в 4 и 5 классе.

Простейшие уравнения

Ранее вы могли проходить в школе такого рода примеры:



Как вы знаете, такие выражения называются уравнениями, а вместо кружка используется буква x или любая другая.

5 + x = 11 – это уравнение. Уравнением оно называется потому что в нём левая часть равняется правой. Если условие равенства не выполняется, значит уравнение записано неверно. Буква x называется неизвестным, или корнем уравнения. Целью решения уравнения является нахождение неизвестного.

Как вы уже знаете, для того, чтобы решить уравнение, надо x оставить в одной части, а все числа перенести в другую часть с противоположным знаком.

Правило:



То есть если у нас

5 + x =11

то

x = 11 – 5
x = 6

Другой пример:

y + 21 = 37
y = 37 - 21
y = 16

Обратите внимание, что я специально здесь использовал вместо x букву y – для того, чтобы подчеркнуть, что в уравнении неизвестное может обозначаться не только x, но и любой другой буквой или даже комбинацией букв.

Если же мы имеем уравнение вот такого вида:

26 – x = 18

то мы можем записать, что
26 – 18 = x – здесь, как вы видите, мы 18 перенесли в левую часть со знаком минус, а x – в правую со знаком плюс.

При этом мы можем поменять левую и правую часть местами, от этого суть уравнения не поменяется. То есть мы можем записать, что

x = 26 - 18
x = 8

Для проверки решения уравнения надо найденное неизвестное подставить в исходное уравнение. Т.е. в нашем случае это

26 – 8 = 18
18 = 18 – решение верное.



Пример:

z – 7 = 14
z = 14 + 7
z = 21

Проверка:

21 – 7 = 14
14 = 14 – решение верное

Уравнения с делением и умножением

Запишем равенство
6 = 6

Если мы умножим обе части равенства на одно и то же число, то оно останется верным
6∙3 = 6∙3

Если мы разделим обе части равенства на одно и то же число, то оно тоже останется верным
6:2 = 6:2

Уравнение c множителями

5∙x = 15

Как уже говорилось ранее, мы можем разделить правую и левую часть на одно и то же число, и равенство сохранится. Чтобы найти x, это уравнение нужно разделить на 5.
Для того, чтобы разделить на 5 выражение 5∙x мы можем записать

5x:5

или

(5:5)x = 1∙x = x

Таким образом, из начального уравнения 5∙x = 15 получим:

5x:5 = 15:5
x = 3

Можно сказать по другому:

Здесь 5 и x – это множители, а 15 – произведение.



То есть x = 15:5 = 3

Проверка:
5∙3 = 15
15 = 15

Пример:
x∙4 = 32 (x∙4 – это то же самое, что 4∙x)
x = 32:4
x = 8

Уравнение с делителями

z:4 = 16

Здесь z – делимое, 4 – делитель, 16 – частное. Для того, чтобы найти делимое, надо частное умножить на делитель. Ещё раз обращаю ваше внимание, что неизвестное может обозначаться любой буквой, не обязательно только x.

z = 16∙4
z = 64

В правой части у нас остался один z, потому что ранее это был z в 4 раза меньший, и раз мы его умножили на 4, то он стал в 4 раза больше, т.е. полным z.

Проверка
64:4 = 16
16 = 16

Пример
120:x = 30

120 = 30∙x – мы умножили на x левую и правую часть, в результате чего в левой части он исчез, а в правой части он появился. Левая часть – это было число 120, уменьшенное в x раз (так как деление – это уменьшение числа в заданное число раз). Соответственно, раз мы левую часть умножаем на тот же x, то она перестаёт быть числом 120, уменьшенным в x раз, и станет просто числом 120.

Таким образом, мы перешли к уже известным нам уравнениям с множителями
Мы можем переписать равенство как

30∙x = 120
x = 120:30
x = 4

Про это же уравнение можно сказать следующее:



120:x = 30
120 – делимое, x – делитель, 30 - частное

Пример:
96:x = 6
96 = 6x
x = 96:6 – тут мы пропустили шаг перестановки частей равенства 6x = 96 – его записывать необязательно
x = 16

Усложнённые уравнения

Пример:
3x + x = 24
4x = 24
x = 24:4
x = 6

Проверка:
3x + x = 24
3∙6 + 6 = 24
18 + 6 = 24
24 = 24

11x – 3x + 5x = 65
13x = 65
x = 65:13
x = 5

Проверка:

11∙5 – 3∙5 + 5∙5 = 65
55 – 15 + 25 = 65
65 = 65

Раскрытие скобок

Предположим, у нас есть выражение

9∙(10 - 4)

Мы можем записать его как
9∙6

так как выражение в скобках 10-4 равно 6. 9∙6 = 54

Или же мы можем раскрыть скобки.



Т.е

9∙(10 - 4) = 9∙10 – 9∙4 = 90 – 36 = 54

Аналогично, если в скобках будет больше членов и с разными знаками.

Например:

(11 + 2 – 5)∙4 = 4∙8 = 32

или

(11 + 2 – 5)∙4 = 4∙11 + 4∙2 – 4∙5 = 44 + 8 – 20 = 32 -
как мы уже говорили, множитель может стоять и после скобок, от этого правила раскрытия скобок не меняются.

Если в скобках вместо числа будет стоять неизвестное, то скобки раскрываются аналогично.

12∙(8x + 2x – 5) = 12∙8x + 12∙2x – 12∙5 = 96x + 24x – 60 = 120x - 60

Пример:

16∙(x – 4) = 4∙(x+2)

У правой части мы видим множитель 4. В левой части множитель 16. Т.е. мы смело можем разделить обе части на 4, избавишись таким образом от множителя в правой части

4∙(x – 4) = x +2
4x – 16 = x + 2

далее переносим x в левую часть, а числа – в правую

4x – x = 16+2
3x = 18
x = 6

Проверка:
16∙(6 – 4) = 4∙(6+2)
16∙2 = 4∙8
32 = 32

Пример:

5∙(15 – x) = 25∙(x-3)

Разделим обе части уравнения на 5

15 – x = 5∙(x-3)
15 – x = 5x – 15
15 + 15 = 5x + x
30 = 6x
x = 5

Проверка:
5∙(15 – 5) = 25∙(5 – 3)
5∙10 = 25∙2
50 = 50



Пример:
100:(x – 25) = 20

Точно так же, как мы решали ранее уравнение 120:x = 30 путём умножения обеих частей на делитель, т.е. на x, и получая 120 = 30x, это уравнение мы тоже решим, умножив обе части на делитель, т.е. на x-25

100 = 20(x-25)
100 = 20x – 500
100 + 500 = 20x
600 = 20x
x = 30

Проверка

100:(30-25) = 20
100:5 = 20
20 = 20

Пример

(x – 4):6 = 16
x – 4 = 16∙6
x – 4 = 96
x = 96+4
x = 100

Проверка:
(100-4):6 = 16
96:6 = 16
16 = 16