Решение задач на нахождение периметра, площади, объёма фигур

ПЕРИМЕТР

Периметр – сумма длин всех сторон плоской геометрической фигуры. Чаще всего периметр измеряется в сантиметрах, метрах и километрах.

Чаще всего периметр обозначается буквой P.



Периметр прямоугольника – удвоенная сумма длины и высоты - 2∙(a+b)



Периметр квадрата – произведение любой его стороны на 4, так как стороны равны.

ПЛОЩАДЬ

Площадь – характеристика замкнутой геометрической фигуры, которая показывает ее размер. Чаще всего площадь измеряется в квадратных сантиметрах, квадратных метрах и квадратных километрах.

В отличие от периметра, не существует универсальной формулы площади. Для каждого типа фигур площадь вычисляется по своей особой формуле. Мы будем рассматривать только прямоугольники, квадраты и составные фигуры из прямоугольников и квадратов.

Чаще всего площадь обозначается буквой S.

Площадь прямоугольника – произведение длины на высоту.





Разделим этот прямоугольник на квадраты



Мы получили 15 квадратов внутри этого прямоугольника – это и есть те самые 15 квадратных сантиметров, которые составляют площадь прямоугольника.

Площадь квадрата – произведение длины стороны на саму себя.

СОСТАВНЫЕ ФИГУРЫ

Разделим эту фигуру на прямоугольник и квадрат
Высота прямоугольника составит 5 – 3 = 2

СООТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДИ И ПЕРИМЕТРА

Фигуры с одной и той же площадью могут иметь разный периметр



Почему у нас изменился периметр, хотя площадь, т.е. число квадратиков внутри фигуры, осталась прежней?

Потому что изменилось число граней квадратиков, которые участвуют в формировании сторон фигуры, т.е. перметра. В первой фигуре – большом квадрате, в формировании сторон участвовали по две внешних грани каждого маленького квадратика – общее число таких граней 8, и периметр равен 8.

Во второй фигуре у нас в формировании сторон участвуют по три грани у двух крайних квадратиков и по две грани внутренних квадратов. Общее число таких граней 10, и периметр равен 10.

ОБЪЁМ

Объём – количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Чаще всего объём измеряется в кубических сантиметрах, кубических дециметрах, кубических метрах и литрах.

1 л = 1 дм³

Не существует универсальной формулы объема. Для каждого типа фигур объём вычисляется по своей особой формуле. Мы будем рассматривать только прямоугольные параллелепипеды.

Чаще всего объём обозначается буквой V.

Прямоугольный параллелепипед – замкнутая фигура, у которой 6 прямоугольных граней (передняя, задняя, нижняя, верхняя и две боковые), и каждая из граней расположены под прямым углом к соседним.

Объём прямоугольного параллелепипеда – произведение его длины, ширины и высоты



Зная объём и две стороны, мы можем найти третью сторону:

c = (V:a):b = V:S

ЗАДАЧИ

Задача 1. Найдите периметр и площадь прямоугольника, у которого ширина 10 см, и она меньше длины на 6 см.

x = 10 см – ширина

1. Найдём длину
y = 10 + 6 = 16 см

2. Найдём периметр
P = 2∙(10+16) = 52 см

3. Найдём площадь
S = 10∙16 = 160 см²

Ответ: P = 52 см, S = 160 см²


Задача 2. Какую ширину имеет прямоугольник, длина которого 50 см, а площадь совпадает с площадью квадрата периметром 80 см?



1. Вычислим сторону квадрата
4∙n = 80 - периметр
n = 20 см

2. Вычислим площадь квадрата
20∙20 = 400 см²

3. Вычислим ширину прямоугольника
50∙x = 400 см²
x = 8 см

Ответ: 8 см


Задача 3. Чему равна ширина прямоугольника, длина которого равна 15 м, а площадь 7500 дм2 ?

1 дм = 10 см, 1 м = 100 см, 1 м = 10 дм

1. Переведём длину прямоугольника в дм

x = 15∙10 = 150 дм

2. Найдём ширину прямоугольника

150∙y = 7500
y = 7500:150 = 50 дм

Ответ: 50 дм


Задача 4. Длина прямоугольника равна 60 см, и она в 3 раза больше ширины стороны.

1. Найдите площадь этого прямоугольника.
2. Найдите площадь квадрата, который имеет такой же периметр, как и прямоугольник.
3. Найдите периметр квадрата, площадь которого в 12 раз меньше площади прямоугольника.

1. Найдём ширину прямоугольника

x = 60:3 = 20 см


2. Найдём площадь прямоугольника

S = 60∙20 = 1200 см


2. Найдём периметр прямоугольника

P = 2∙(60+20) = 160 см

3. Найдём сторону квадрата
y = 160:4 = 40 см

4. Найдём площадь квадрата

Sкв = 40∙40 = 1600 см²

5. Найдём площадь квадрата, которая в 12 раз меньше площади прямоугольника:

Sкв₂ = 1200:12 = 100 см²

6. Найдём сторону такого квадрата

Площадь квадрата = 100 см²
Из таблицы умножения мы знаем, что 10∙10 = 100, значит сторона квадрата = 10 см

7. Найдём периметр такого квадрата

P = 10∙4 = 40 см



Задача 5. В прямоугольнике АВСД сторона АВ 3 см, сторона ВС на 1 см длиннее, а диагональ ВД на 2 см длиннее АВ. Найдите периметр и площадь прямоугольника АВСД и треугольника АВД.



1. Найдём сторону ВС
ВС = 3+1 = 4

2. Найдём диагональ ВД
ВД = 3+2 = 5

3. Найдём периметр АВСД
P = 2∙(3+4) = 14 см

4. Найдём площадь АВСД
Sавсд = 3∙4 = 12 см²

5. Найдём периметр треугольника АВД
Pавд = 3 + 5 + 4 = 13 см

6. Найдём площадь треугольника АВД
Треугольник АВД занимает половину площади прямоугольника АВСД

Sавд = Sавсд:2
Sавд = 12:2 = 6 см²

Задача 6. В аквариум в форме прямоугольного параллелепипеда, основание которого имеет стороны 80 и 40 см, налили до краёв 160 л. воды. Какова высота аквариума?


Решение



1. Переведём литры в кубические дециметры
1 л = 1 дм³, 160 л = 160 дм³

2. Переведём стороны аквариума в дециметры
1 дм = 10 см, 80 см = 8 дм, 40 см = 4 дм

3. Найдём высоту аквариума
V = a∙b∙c, a = 8, b = 4
c = (V:a):b
c = (160:8):4 = 5 дм
c = 5∙10 = 50 см

Ответ: 50 см