Тест на уровень знаний
Подберите задачи для теста по своим критериям.
Вступительные экзамены в физматшколы
Вступительные экзамены в 5-й класс физматшкол Петербурга и Москвы за разные годы.
Хотите больше материалов по математике?
Курс по подготовке ребёнка к поступлению в 5-е классы престижных школ и к олимпиадной
математике.
Стоимость:
1 990 руб.
1 990 руб.
16 часов
видео
видео
Набор задач для самостоятельного решения
Видеоматериал, где подробно рассказывается, как решать задачи по следующим темам:
- Задачи на движение
- Уравнения и решение задач с помощью уравнений
- Системы уравнений и решение задач с помощью систем уравнений
- Периметр, площадь и объём фигур
- Упрощение выражений
- Множества
- Чет-нечет
- Задачи, связанные с календарём
- Свойства чисел
- Части
- Ряды
- Распилы
- Разрезание геометрических фигур
- Комбинаторика
- Взвешивание и переливание
Задачи на переправу и процессы
В этом разделе рассмотрим задачи на различные процессы. Один из самых распространённых сюжетов таких задач — переправы.
Самый известный пример такой задачи «Волк, коза и капуста».
На берегу реки стоит крестьянин с лодкой, а рядом с ним находятся волк, коза и капуста. Крестьянин должен переправиться сам и перевезти волка, козу и капусту на другой берег. Однако в лодку кроме крестьянина помещается либо только волк, либо только коза, либо только капуста. Оставлять волка с козой или козу с капустой без присмотра нельзя — волк может съесть козу, а коза — капусту. Как должен вести себя крестьянин?
Решение:
У нас условия: В лодке крестьянин + кто-то один: волк или коза или капуста.
Нельзя оставлять:
- волка с козой без крестьянина;
- козу с капустой без крестьянина.
- Нужно всех переправить.
Ходы крестьянина
Обозначим берега так:
Левый берег — старт;
Правый берег — финиш.
1. Крестьянин везёт козу на правый берег.
Левый берег: волк, капуста
Правый берег: коза
Ничего страшного: волк с капустой могут спокойно ждать вместе.
2. Крестьянин возвращается один на левый берег.
Левый: волк, капуста, крестьянин
Правый: коза
3. Крестьянин везёт волка на правый берег.
Левый: капуста
Правый: волк, коза, крестьянин
Но оставлять волка с козой нельзя, поэтому:
4. Крестьянин забирает козу обратно на левый берег.
Левый: коза, капуста, крестьянин
Правый: волк
5. Крестьянин везёт капусту на правый берег.
Левый: коза
Правый: волк, капуста, крестьянин
Волк с капустой вместе могут стоять без проблем.
6. Крестьянин возвращается один за козой.
Левый: коза, крестьянин
Правый: волк, капуста
7. Крестьянин везёт козу на правый берег.
Правый: волк, коза, капуста, крестьянин — все на месте.
То есть схема такая (кого везём):
коза → назад один → волк → коза обратно → капуста → назад один → коза.
Так крестьянин ни разу не оставляет вместе «опасные пары» без присмотра и успешно перевозит всех.
Кузя и Мила пошли гулять у пруда. Там они встретили двух катающихся по пруду жучков. Плот у жучков очень маленький: он вмещает либо только двух жучков, либо кого-то одного, Кузю или Милу. Найдите способ, как им четверым переправиться на другой берег. На этот раз с плотом может управиться каждый.
Решение
Пронумеруем берега реки: пусть на первом берегу сейчас находятся все четверо, а переправиться они хотят на второй берег.
1. Сначала оба жучка садятся на плот и переправляются вдвоём на второй берег.
1-й берег: Кузя, Мила
2-й берег: два жучка
2. Один жучок возвращается на плоту на первый берег.
1-й берег: Кузя, Мила, 1 жучок
2-й берег: 1 жучок
3. На плот садится Мила и переправляется одна на второй берег.
1-й берег: Кузя, 1 жучок
2-й берег: Мила, 1 жучок
Мила остаётся там, а плот нужно вернуть.
4. Тогда второй жучок (тот, что остался на втором берегу) садится на плот и возвращается на первый берег.
1-й берег: Кузя, 2 жучка
2-й берег: Мила
5. Теперь снова оба жучка садятся на плот и переправляются вместе на второй берег.
1-й берег: Кузя
2-й берег: Мила, 2 жучка
6. Один из жучков возвращается на плоту на первый берег.
1-й берег: Кузя, 1 жучок
2-й берег: Мила, 1 жучок
7.Теперь на плот садится Кузя и переправляется на второй берег.
1-й берег: 1 жучок
2-й берег: Кузя, Мила, 1 жучок
Кузя остаётся на втором берегу.
8. Наконец, последний жучок с первого берега садится на плот, переправляется на второй берег и присоединяется к остальным.
1-й берег: (никого)
2-й берег: Кузя, Мила, 2 жучка
Все четверо оказались на втором берегу.
Краткая
Обозначения:
• К — Кузя
• М — Мила
• Ж₁ и Ж₂ — два жучка
Кого возим:
• Ж₁ + Ж₂ →
• Ж₁ ←
• М →
• Ж₂ ←
• Ж₁ + Ж₂ →
• Ж₁ ←
• К →
• Ж₂ ←
• Ж₁ + Ж₂ →
Здесь есть важное соображение, которое помогает придумать конструкцию.
Когда кто-то из Кузи и Милы впервые отправляется на другой берег, плот кто-то должен отвезти назад. Возвращаться самому Кузе или Миле бессмысленно — они хотят переправиться и остаться на другом берегу.
Значит, плот обратно может везти только одного из жучков. При этом оба жучка не могут одновременно оказаться на другом берегу без плота, ведь тогда некому будет вернуть плот туда, где остались Кузя и Мила.
Это и подсказывает конструкцию:
Сначала жучки расходятся по разным берегам (по одному на каждом).
Потом они начинают переправлять Кузю и Милу, при этом всегда есть жучок на плоту на нужном берегу, чтобы забрать следующего.
Так получаем аккуратную схему, в которой все в итоге оказываются на втором берегу.
У Милы есть коробка с бусинами: 10 синих и 6 красных.
Они с Кузей играют в такую игру. Каждый ход Кузя: достаёт из коробки две любые бусины; если они одного цвета, то кладёт в коробку одну синюю бусину вместо них; если они разного цвета, то кладёт в коробку одну красную бусину вместо них. Так продолжается, пока в коробке не останется ровно одна бусина. Какого цвета обязательно будет последняя бусина — синей или красной?
Решение
Посмотрим не на все бусины сразу, а только на количество красных бусин.
Изначально у Милы 6 красных бусин.
Разберём, что происходит с числом красных бусин при каждом типе хода.
1. Взяли две синие бусины
Было: 2 синие.
Кузя достаёт их и кладёт одну синюю.
• красных бусин не было и нет,
• их количество не изменилось.
2. Взяли две красные бусины
Было: 2 красные.
Кузя достаёт их и кладёт одну синюю.
Что произошло с количеством красных?
• было: две красные;
• стало: ни одной красной от этих двух, а вместо них — одна синяя.
То есть число красных уменьшилось на 2.
3. Взяли одну красную и одну синюю
Было: 1 красная, 1 синяя.
Кузя достаёт их и кладёт одну красную.
Что происходит с числом красных?
• было: 1 красная;
• стало: 1 красная.
То есть число красных не изменилось.
Теперь заметим важную вещь:
• либо число красных остаётся таким же (случаи 1 и 3),
• либо уменьшается на 2 (случай 2).
То есть чётность числа красных бусин (чётное/нечётное) никогда не меняется:
• если было чётное количество красных, то чётным оно и останется;
• если было нечётное — останется нечётным.
Изначально красных бусин было 6, а 6 — это чётное число.
Значит, в процессе игры количество красных бусин всегда чётное.
В конце в коробке остаётся одна единственная бусина.
Значит, количество красных бусин в этот момент — либо 0, либо 1. Других вариантов быть не может.
Но мы уже поняли, что число красных бусин всегда чётное.
Из чисел 0 и 1 чётное только 0.
Значит, в конце не может остаться 1 красная бусина — красных вообще не останется.
То есть последняя бусина не красная, а синяя.
Ответ: Последняя бусина обязательно будет синей.
Методический комментарий
Почему эта задача — тоже «про процесс», хоть и не про переправу?
• у нас есть состояние, которое постепенно меняется (набор бусин в коробке);
• есть правило хода (как именно меняем состояние);
• нас интересует результат после долгой последовательности ходов.
Но в отличие от задачи с лодкой:
• здесь мы не строим конкретную последовательность ходов;
• вместо этого мы замечаем величину, которая ведёт себя предсказуемо — это число красных бусин и его чётность.
Такую величину часто называют инвариантом: она либо не меняется, либо меняется так, что некоторый важный её признак (как тут — чётность) остаётся неизменным.
Полезно подчеркнуть детям:
• мы не следим за каждой конкретной бусиной,
• мы следим только за одной характеристикой (чётностью числа красных),
• и именно это позволяет ответить на вопрос о самом последнем ходе, не перебирая все варианты игры.
Это хороший пример задачи с процессом, где вместо «перебора ходов» мы учимся искать, что в процессе остаётся неизменным.
Задача 1
На берегу реки стоит крестьянин с лодкой, а рядом с ним находятся волк, коза и капуста. Крестьянин должен переправиться сам и перевезти волка, козу и капусту на другой берег. Однако в лодку кроме крестьянина помещается либо только волк, либо только коза, либо только капуста. Оставлять волка с козой или козу с капустой без присмотра нельзя — волк может съесть козу, а коза — капусту. Как должен вести себя крестьянин?
Решение:
У нас условия: В лодке крестьянин + кто-то один: волк или коза или капуста.
Нельзя оставлять:
- волка с козой без крестьянина;
- козу с капустой без крестьянина.
- Нужно всех переправить.
Ходы крестьянина
Обозначим берега так:
Левый берег — старт;
Правый берег — финиш.
1. Крестьянин везёт козу на правый берег.
Левый берег: волк, капуста
Правый берег: коза
Ничего страшного: волк с капустой могут спокойно ждать вместе.
2. Крестьянин возвращается один на левый берег.
Левый: волк, капуста, крестьянин
Правый: коза
3. Крестьянин везёт волка на правый берег.
Левый: капуста
Правый: волк, коза, крестьянин
Но оставлять волка с козой нельзя, поэтому:
4. Крестьянин забирает козу обратно на левый берег.
Левый: коза, капуста, крестьянин
Правый: волк
5. Крестьянин везёт капусту на правый берег.
Левый: коза
Правый: волк, капуста, крестьянин
Волк с капустой вместе могут стоять без проблем.
6. Крестьянин возвращается один за козой.
Левый: коза, крестьянин
Правый: волк, капуста
7. Крестьянин везёт козу на правый берег.
Правый: волк, коза, капуста, крестьянин — все на месте.
То есть схема такая (кого везём):
коза → назад один → волк → коза обратно → капуста → назад один → коза.
Так крестьянин ни разу не оставляет вместе «опасные пары» без присмотра и успешно перевозит всех.
Задача 2
Кузя и Мила пошли гулять у пруда. Там они встретили двух катающихся по пруду жучков. Плот у жучков очень маленький: он вмещает либо только двух жучков, либо кого-то одного, Кузю или Милу. Найдите способ, как им четверым переправиться на другой берег. На этот раз с плотом может управиться каждый.
Решение
Пронумеруем берега реки: пусть на первом берегу сейчас находятся все четверо, а переправиться они хотят на второй берег.
1. Сначала оба жучка садятся на плот и переправляются вдвоём на второй берег.
1-й берег: Кузя, Мила
2-й берег: два жучка
2. Один жучок возвращается на плоту на первый берег.
1-й берег: Кузя, Мила, 1 жучок
2-й берег: 1 жучок
3. На плот садится Мила и переправляется одна на второй берег.
1-й берег: Кузя, 1 жучок
2-й берег: Мила, 1 жучок
Мила остаётся там, а плот нужно вернуть.
4. Тогда второй жучок (тот, что остался на втором берегу) садится на плот и возвращается на первый берег.
1-й берег: Кузя, 2 жучка
2-й берег: Мила
5. Теперь снова оба жучка садятся на плот и переправляются вместе на второй берег.
1-й берег: Кузя
2-й берег: Мила, 2 жучка
6. Один из жучков возвращается на плоту на первый берег.
1-й берег: Кузя, 1 жучок
2-й берег: Мила, 1 жучок
7.Теперь на плот садится Кузя и переправляется на второй берег.
1-й берег: 1 жучок
2-й берег: Кузя, Мила, 1 жучок
Кузя остаётся на втором берегу.
8. Наконец, последний жучок с первого берега садится на плот, переправляется на второй берег и присоединяется к остальным.
1-й берег: (никого)
2-й берег: Кузя, Мила, 2 жучка
Все четверо оказались на втором берегу.
Краткая
Обозначения:
• К — Кузя
• М — Мила
• Ж₁ и Ж₂ — два жучка
Кого возим:
• Ж₁ + Ж₂ →
• Ж₁ ←
• М →
• Ж₂ ←
• Ж₁ + Ж₂ →
• Ж₁ ←
• К →
• Ж₂ ←
• Ж₁ + Ж₂ →
Комментарий
Здесь есть важное соображение, которое помогает придумать конструкцию.
Когда кто-то из Кузи и Милы впервые отправляется на другой берег, плот кто-то должен отвезти назад. Возвращаться самому Кузе или Миле бессмысленно — они хотят переправиться и остаться на другом берегу.
Значит, плот обратно может везти только одного из жучков. При этом оба жучка не могут одновременно оказаться на другом берегу без плота, ведь тогда некому будет вернуть плот туда, где остались Кузя и Мила.
Это и подсказывает конструкцию:
Сначала жучки расходятся по разным берегам (по одному на каждом).
Потом они начинают переправлять Кузю и Милу, при этом всегда есть жучок на плоту на нужном берегу, чтобы забрать следующего.
Так получаем аккуратную схему, в которой все в итоге оказываются на втором берегу.
Задача 3
У Милы есть коробка с бусинами: 10 синих и 6 красных.
Они с Кузей играют в такую игру. Каждый ход Кузя: достаёт из коробки две любые бусины; если они одного цвета, то кладёт в коробку одну синюю бусину вместо них; если они разного цвета, то кладёт в коробку одну красную бусину вместо них. Так продолжается, пока в коробке не останется ровно одна бусина. Какого цвета обязательно будет последняя бусина — синей или красной?
Решение
Посмотрим не на все бусины сразу, а только на количество красных бусин.
Изначально у Милы 6 красных бусин.
Разберём, что происходит с числом красных бусин при каждом типе хода.
1. Взяли две синие бусины
Было: 2 синие.
Кузя достаёт их и кладёт одну синюю.
• красных бусин не было и нет,
• их количество не изменилось.
2. Взяли две красные бусины
Было: 2 красные.
Кузя достаёт их и кладёт одну синюю.
Что произошло с количеством красных?
• было: две красные;
• стало: ни одной красной от этих двух, а вместо них — одна синяя.
То есть число красных уменьшилось на 2.
3. Взяли одну красную и одну синюю
Было: 1 красная, 1 синяя.
Кузя достаёт их и кладёт одну красную.
Что происходит с числом красных?
• было: 1 красная;
• стало: 1 красная.
То есть число красных не изменилось.
Теперь заметим важную вещь:
• либо число красных остаётся таким же (случаи 1 и 3),
• либо уменьшается на 2 (случай 2).
То есть чётность числа красных бусин (чётное/нечётное) никогда не меняется:
• если было чётное количество красных, то чётным оно и останется;
• если было нечётное — останется нечётным.
Изначально красных бусин было 6, а 6 — это чётное число.
Значит, в процессе игры количество красных бусин всегда чётное.
Что будет в конце?
В конце в коробке остаётся одна единственная бусина.
Значит, количество красных бусин в этот момент — либо 0, либо 1. Других вариантов быть не может.
Но мы уже поняли, что число красных бусин всегда чётное.
Из чисел 0 и 1 чётное только 0.
Значит, в конце не может остаться 1 красная бусина — красных вообще не останется.
То есть последняя бусина не красная, а синяя.
Ответ: Последняя бусина обязательно будет синей.
Методический комментарий
Почему эта задача — тоже «про процесс», хоть и не про переправу?
• у нас есть состояние, которое постепенно меняется (набор бусин в коробке);
• есть правило хода (как именно меняем состояние);
• нас интересует результат после долгой последовательности ходов.
Но в отличие от задачи с лодкой:
• здесь мы не строим конкретную последовательность ходов;
• вместо этого мы замечаем величину, которая ведёт себя предсказуемо — это число красных бусин и его чётность.
Такую величину часто называют инвариантом: она либо не меняется, либо меняется так, что некоторый важный её признак (как тут — чётность) остаётся неизменным.
Полезно подчеркнуть детям:
• мы не следим за каждой конкретной бусиной,
• мы следим только за одной характеристикой (чётностью числа красных),
• и именно это позволяет ответить на вопрос о самом последнем ходе, не перебирая все варианты игры.
Это хороший пример задачи с процессом, где вместо «перебора ходов» мы учимся искать, что в процессе остаётся неизменным.
Дата публикации
Задачи раздела:
У Пчелёнка есть мешочек с пуговицами: 9 красных пуговиц и 4 синих. Они с Лунтиком играют в игру, в которой каждый ход Лунтик достаёт из мешочка две любые пуговицы; если пуговицы одного цвета, то он кладёт обратно одну синюю пуговицу; если пуговицы разного цвета, то он кладёт обратно одну красную пуговицу. Так игра продолжается до тех пор, пока в мешочке не останется ровно одна пуговица. Какого цвета обязательно будет последняя пуговица — красной или синей?
Пчелёнок подарил Миле два волшебных шнура. Каждый такой шнур горит неравномерно, но полностью сгорает ровно за 2 минуты. У Милы есть только эти два шнура и зажигалка. Как с их помощью отмерить ровно 1 минуту 30 секунд?
Пчелёнок, Кузя, Мила и Лунтик пошли на пикник к озеру. Когда они решили вернуться домой, оказалось, что мост смыло, а у берега осталась только одна двухместная лодка. При этом: лодка вмещает не больше двух зверят; Лунтик слишком тяжёлый, поэтому он может плыть в лодке только один; управляться с лодкой умеют Пчелёнок, Кузя и Лунтик; Мила лодкой управлять не умеет и боится оставаться на берегу одна — на любом берегу с Милой всегда должен быть ещё кто-то. Как всем четверым переправиться через озеро?
В мастерскую Корнея Корнееча привезли 4 трёхколёсных велосипеда.
Кузя, Лунтик и Пчелёнок решили помочь и поменять на них все колёса на новые. Известно, что: у каждого велосипеда 3 колеса; один помощник меняет одно колесо за 1 час; одновременно на одном велосипеде можно менять колесо только на одном колесе (двух и более человек у одного велосипеда работать не могут); всего помощников 3 (Кузя, Лунтик и Пчелёнок). Могут ли они втроём поменять колёса на всех 4 велосипедах за 4 часа?
В лесном городке Лунтика открывается новый 10-этажный дом.
Кузя заехал на 8-й этаж, а потом решил спуститься к друзьям на 3-й этаж. Но лифт в доме оказался очень странным: в нём всего две кнопки. Если нажать первую кнопку, лифт поднимается на 2 этажа вверх. Если нажать вторую кнопку, лифт опускается на 3 этажа вниз. Однако есть ограничения безопасности: если нажать первую кнопку выше 2-го этажа, лифт ломается; если нажать вторую кнопку ниже 4-го этажа, лифт ломается. Как Кузе, не ломая лифт, попасть с 8-го этажа на 3-й?
Лунтик играл дома с Милой и Кузей, они проголодались и решили пожарить себе по одному сырнику. К сожалению, Лунтик нашел только маленькую сковородку, на которую помещаются только 2 сырника. Каждый сырник нужно обжарить с двух сторон, а на обжарку одной стороны уходит 3 минуты. Друзья хотят посмотреть мультфильм, который начнется через 12 минут. Успеют ли они пожарить все сырники меньше, чем за 12 минут?
Лунтик, Кузя, Мила и Пчелёнок отправились в поход. По пути им нужно переправиться через реку, а у них есть только одна лодка. Лодка маленькая, и в неё могут сесть только двое одновременно. Управлять лодкой умеет только Лунтик, поэтому каждый раз, когда лодка плывёт, в ней обязательно должен быть Лунтик. При этом Лунтику совсем не нравится идея оставлять Милу одну с Кузей или с Пчелёнком — у них сложные отношения. То есть нельзя, чтобы: Мила и Кузя оставались вдвоём без Лунтика; Мила и Пчелёнок оставались вдвоём без Лунтика. Как всем четверым безопасно переправиться на другой берег?
Две гусеницы и два жучка отправились в путешествие. Они подошли к пруду и увидели плот, который может перевезти только двоих. К счастью, каждый из друзей умеет управлять плотом. Но гусеницы несут вдвоем тяжелый мешок и хотят всё время быть вместе, то есть их нельзя разлучать. Как насекомым переправиться на другой берег?
