Приобретайте наш курс по математике!

16 часов видео
Набор задач для самостоятельного решения
Главная | Математика | 4 класс | Множества (круги Эйлера)
Тест на уровень знаний
Подберите задачи для теста по своим критериям.
Вступительные экзамены в физматшколы
Вступительные экзамены в 5-й класс физматшкол Петербурга и Москвы за разные годы.
Хотите больше материалов по математике?
Курс по подготовке ребёнка к поступлению в 5-е классы престижных школ и к олимпиадной математике.
Стоимость:
1 990 руб.
16 часов
видео
Набор задач для самостоятельного решения
Видеоматериал, где подробно рассказывается, как решать задачи по следующим темам:
  • Задачи на движение
  • Уравнения и решение задач с помощью уравнений
  • Системы уравнений и решение задач с помощью систем уравнений
  • Периметр, площадь и объём фигур
  • Упрощение выражений
  • Множества
  • Чет-нечет
  • Задачи, связанные с календарём
  • Свойства чисел
  • Части
  • Ряды
  • Распилы
  • Разрезание геометрических фигур
  • Комбинаторика
  • Взвешивание и переливание

Задачи на множества

Множество - это группа предметов (людей, понятий) с общими свойствами и собранных вместе. Предметы любого множества называют элементами множества.


Лучше всего знакомство со множествами начать с решения простых задач.

Задача 1. Баба Капа попросила Лунтика сосчитать оставшиеся банки с варением в кладовке. Лунтик может считать по порядку только до 20, а потом начинает сбиваться со счета. Он заметил, что на этикетках банок нарисованы клубничка и малинка, и тогда он решил посчитать банки по-другому. Банок с нарисованными клубниками было 18, с малиной 12, а банок, где нарисована клубничка и малинка было 8. Помогите Лунтику сосчитать обще количество банок с варением.



Для решения этой задачи воспользуемся кругами Эйлера. Для начала представим все банки в виде точек. Заключим в первый круг все точки, соответствующие банкам с нарисованной клубничкой. Их должно быть 18. Во второй круг заключим все банки с малинкой, по условию, их должно быть 12. А в пересечении этих двух кругов получим те банки, на которых нарисована и клубничка, и малинка, по условию, их должно быть 8.

Решение 1 способом.

Давайте найдем количество банок, где нарисована только клубничка, без малинки. То есть посчитаем количество точек в первом круге без точек, которые входят в пересечение двух кругов. Их 18 − 8 = 10. Аналогично давайте посчитаем количество банок только с малинкой без клубнички. Их 12 − 8 = 4. Тогда общее количество банок мы можем найти, сложив банки с нарисованной клубничкой, но без малинки, плюс банки с малинкой, но без клубнички, а также банки, где нарисованы две ягоды: 10 + 4 + 8 = 22 банки.

Решение 2 способом.

Есть более быстрый способ решения этой задачи. Для этого надо сложить количество точек в первом и втором кругах: 18 + 12 = 30. Мы видим, что точки внутри двух кругов мы посчитали дважды. Следовательно, общее количество банок на 8 меньше, то есть равно 30 − 8 = 22 банки.

Ответ: 22 банки

Задача 2. На выходных ученики ходили в кино. 20 из них посмотрели фильм «Завод», 13 смотрели фильм «Хеллбой» из них 8 посмотрели оба фильма. Сколько учеников посмотрело только фильм «Завод»?

Для решения этой задачи нам помогут круги Эйлера. С помощью этих кругов можно показать отношения между каким-либо множеством и его частью. Леонард Эйлер, в честь которого названы эти круги - это швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук. Он родился в Швейцарии, но почти половину жизни провёл в России, поэтому он считается не только швейцарским математиком, но и российским.

Нарисуем схему:



Круг "Хеллбой" - те, кто посмотрели этот фильм. Над ним число 13 - количество посмотревших.
Круг "Завод" - те, кто посмотрел фильм "Завод". Над ним число 20 - количество посмотревших.

Эти круги пересекаются и в месте пересечения число 8 - количество тех, кто посмотрел оба этих фильма. Это число 8 входит и в число 13 - посмотревших "Хеллбой", и в число 20 - посмотревших "Завод".

Из схемы хорошо видно, что посмотревшие только фильм "Завод", и не посмотревшие фильм "Хеллбой" - находятся в заштрихованной зоне круга "Завод". В эту зону не входят те 8 человек, которые посмотрели и "Хеллбой" и "Завод".

Таким образом, эта задача решается в одно действие: из 20 человек, посмотревших "Завод", надо вычесть 8 человек, которые посмотрели и "Завод" и "Хеллбой", и тем самым мы получим число тех, кто посмотрел только "Завод".

20 - 8 = 12 человек

Ответ: 12 человек

Хотите, чтобы ваш ребёнок обучался самостоятельно?
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС


Задача 3. В овощной магазин за 1 час зашло 20 человек. Из них 12 купили картошку, 5 – лук, 7 не купили ничего. Сколько человек купили и картошку и лук?

Как вы уже наверное поняли из предыдущей задачи, такого рода задачи можно решить и без рисования кругов Эйлера.

Решение

1. Найдём общее число покупателей. Для этого из тех 20 человек, которые зашли в магазин, вычтем те 7 человек, которые ничего не купили.

20 – 7 = 13

2. Найдём число тех, кто купил только лук
Для этого из 13-ти купивших вычтем 12 человек, которые купили картошку. Останутся те люди, которые купили только лук и не купили картошку.

13 – 12 = 1

3. Найдём число тех, кто купил и картошку и лук

В множество тех людей, кто купил лук, входят те, кто купил и картошку и лук и те, кто купил только лук.

Число тех, кто купил только лук, мы нашли во втором действии - это 1 чеовек.

5 – 1 = 4 - число тех, кто купил и картошку и лук.

Ответ: 4

Задача 3. В классе 27 учеников. Из них 16 занимаются плаванием, 10 – футболом, а 5 не занимаются ни тем, ни другим. Сколько футболистов ходит ещё и на плавание?

Решение

Для решения этой задачи нарисуем круги Эйлера, хотя задачу можно решить и без них.

Буквой "П" обозначим множество тех, кто занимается плаванием, буквой "Ф" - тех, кто занимается футболом. П+Ф - те, кто занимаются и плаванием и футболом.



ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.


Если мы вычтем из общего числа учеников (27) число тех, кто не занимается ни плаванием, ни футболом, то мы получим число тех, кто занимаются плаванием, футболом или и тем и другим.

1. Найдём число учеников, которые занимаются плаванием, футболом или и тем и другим
27 – 5 = 22

2. Найдём количество футболистов, которые не ходят на плавание

22 – 16 = 6

3. Найдём количество футболистов, которые ходят ещё и на плавание

В предыдущем действии мы наши число учеников, которые занимаются только футболом.
Таким образом, чтобы найти число учеников, которые занимаются и футболом, и плаванием, надо из общего числа футболистов вычесть тех, кто занимается только футболом (6).

10 – 6 = 4

Ответ: 4

При помощи кругов Эйлера также можно решать задачи про числа и их делимость. Числа тоже обладают схожими и различимыми свойствами. Единственное, работая с числами нам придется самим искать количество чисел с теми или иными признаками.

Задача 4. Мила попросила Пчеленка выписать все числа от 1 до 240, которые не делятся ни на 4, ни на 6. Сколько чисел выпишет Пчеленок?



Решение

Нарисуем круги Эйлера. Первый круг – это числа делящиеся на 4, второй – делящиеся на 6, они пересекаются, так как существуют числа, которые делятся и на 4 и на 6. И третий круг – это числа, которые не делятся ни на 4, ни на 6. Как мы знаем, что каждое четвертое число делится на 4, следовательно чисел, делящихся на 4 будет всего 240 : 4 = 60. Из всех чисел каждое шестое делится на 6, следовательно таких чисел будет 240 : 6 = 40. При этом мы знаем, что некоторые числа делятся и на 4, и на 6.

То есть эти числа будут делиться на 24, поэтому они составляются 24 часть общего количества, следовательно их будет 240 : 24 = 10.

Дальше задачу можно решить 2 способами.

1 способ.

Определим сколько чисел делится только на 4. Мы знаем, что всего чисел, которые делятся на четыре 60, а чисел, которые делятся и на 4 и на 6 всего 10. Значит из 60 – 10 = 50. Таким же способом определяем сколько чисел делится только на 6, 40 - 10 = 30. Теперь найдем общее количество чисел делящихся на 4 и 6, 50 + 30 + 10 = 90.

Теперь найдем числа, которые не делятся ни на 4, ни на 6. Для этого из общего количество цифр 240 вычтем числа, делящиеся на 4 и на 6. Получаем: 240 – 90 = 150.

2 способ.

Мы можем посчитать, сколько всего чисел делится или на 4, или на 6.

60 + 40 = 100

При этом у нас будут дважды посчитаны числа делящиеся и на 4, и на 6. Значит, чтобы получить настоящие количество чисел, надо из 100 отнять числа, делящиеся на 24, а их у нас 10. Получим 100 − 10 = 90. А чтобы найти числа, которые не делятся ни на 4, ни на 6 надо из общего количества чисел отнять те, что делятся или на 4, или на 6.

Получаем: 240 − 90 = 150

Ответ: 150 чисел

Задача 5.

При помощи кругов Эйлера можно также сравнивать количества не считая их, зная, как относятся между собой части.

У Кузи среди синих корабликов 6-я часть имеют белый парус, а среди корабликов с белым парусом 4-я часть имеют синий цвет корпуса. Каких корабликов меньше с синем корпусом или с белым парусом?



Решение

Нарисуем круги Эйлера, которые будут соответствовать корабликам синего цвета и корабликам с белым парусом. В пересечении кругов мы получим кораблики с синим корпусом и белым парусом одновременно. Именно они составляют 6-ю часть среди синих корабликов. Если мы их обозначим как 1 часть, то синих корабликов будет 5 частей. Аналогично с корабликами с белым парусом, если мы их обозначим как 1 часть, то корабликов с белым парусом будет 4 части. Теперь давайте сравним, 4-я часть меньше, чем 6-я. Следовательно корабликов с белым парусом меньше, чем корабликов с синим корпусом.

Дата публикации
Задачи раздела:
В семье жучков 18 мальчиков, а остальные девочки. 10 жучков носят панамки, а остальные кепки. Оказалось, что девочек носящих кепки, столько же, сколько мальчиков носящих панамки. Сколько всего детей в семье жучков?
Капа готовит пирожки для 28 местных жителей. Известно, что каждый житель хоть какой-то вид пирожков да любит, а может и все сразу. Она знает, что 18 жителей предпочитают пироги с морошкой, 14 с клубникой, а 12 с черникой. При этом пироги с морошкой и с клубникой предпочитают 9 жителей. Пироги с морошкой и черникой 7 жителей, а с клубникой и черникой 5. Сколько местных жителей, которые любят все 3 вида пирожков?
Кузнечик Кузя захотел узнать, кого больше: кузнечиков, кроме тех, которых не зовут Кузями, или Кузь, кроме тех Кузей, кто не является кузнечиками. Помогите Кузе разобраться в этом вопросе.
Лунтик, Кузя, Мила и Пчеленок сделали бумажные кораблики. Они посчитали, что если сложить кораблики Кузи, Милы и Пчеленка, то у них получится 7 корабликов, если сложить кораблики, которые сделали Лунтик, Мила и Пчеленок то получится 6 корабликов, а если сложить кораблики без Милиных, то 8, а если без корабликов Пчеленка, то 9. Сколько всего бумажных корабликов сделал один Лунтик?
250 муравьев тащили в муравейник ягоды. Известно, что каждый муравей, который принес малину, принес и землянику. Малину не принесли 200 муравьев, а землянику не принесли 170 муравьев. Кого больше и на сколько: муравьев, которые принесли малину, или муравьев, которые принесли землянику, но не принесли малину?
Мила сказала Пчеленку, что у нее много подружек, среди их точно есть хоть одна бабочка, гусеница и стрекоза. Она сказала, что все, кто придут к ней в гости сегодня, кроме двоих, будут бабочками. Также все, кто придет к ней сегодня в гости, кроме двоих, будут гусеницами. Остальные же, кто придет в гости к ней будут стрекозами. Сколько подружек придет к Миле в гости?
Лунтик попросил Пчеленка научить его считать до 210. А в качестве поощрения за труд, Пчеленок говорил Лунтику «молодец», каждый раз, когда Лунтик называл числа, которые не делятся ни на 3, ни на 7. Сколько раз Лунтика назвали «молодец»?
Из улья отправилось 45 пчел собирать нектар на цветочную поляну, а 58 пчел собирать нектар везде, но только с клевера. При этом из улья всего вылетело 71 пчела. Пчеленок был среди них, но он отпросился к Лунтику по делам. Сколько пчел отправилось собирать нектар на цветочную поляну с клевера?
Среди 50-ти школьников провели опрос про их любимые книги. Список самых популярных возглавили «Гарри Поттер», «Три мушкетёра» и «Два капитана». «Гарри Поттера» назвали 40 человек, из них ещё 18 назвали «Три мушкетёра», а 14 – «Два капитана». Все три книги назвали 6 человек. «Два капитана» выбрали 30 человек, из них 19 назвали две книги из этого списка. Сколько человек выбрали «Три мушкетёра»?
В классе 30 человек. Из них 17 ходят в кружок по математике, 14 – в кружок по робототехнике и 18 – в кружок по биологии. Одновременно на математику и робототехнику ходят 5, на математику и биологию - 7, на робототехнику и биологию - 3. Четверо не ходят ни на какие из этих кружков. Сколько учеников ходит на 3 кружка одновременно? Сколько учеников ходит только в один кружок?
Зарегистрироваться