Задачи на множества

Лучше всего знакомство со множествами начать с решения простых задач.

Задача 1. Баба Капа попросила Лунтика сосчитать оставшиеся банки с варением в кладовке. Лунтик может считать по порядку только до 20, а потом начинает сбиваться со счета. Он заметил, что на этикетках банок нарисованы клубничка и малинка, и тогда он решил посчитать банки по-другому. Банок с нарисованными клубниками было 18, с малиной 12, а банок, где нарисована клубничка и малинка было 8. Помогите Лунтику сосчитать обще количество банок с варением.



Для решения этой задачи воспользуемся кругами Эйлера. Для начала представим все банки в виде точек. Заключим в первый круг все точки, соответствующие банкам с нарисованной клубничкой. Их должно быть 18. Во второй круг заключим все банки с малинкой, по условию, их должно быть 12. А в пересечении этих двух кругов получим те банки, на которых нарисована и клубничка, и малинка, по условию, их должно быть 8.

Решение 1 способом.

Давайте найдем количество банок, где нарисована только клубничка, без малинки. То есть посчитаем количество точек в первом круге без точек, которые входят в пересечение двух кругов. Их 18 − 8 = 10. Аналогично давайте посчитаем количество банок только с малинкой без клубнички. Их 12 − 8 = 4. Тогда общее количество банок мы можем найти, сложив банки с нарисованной клубничкой, но без малинки, плюс банки с малинкой, но без клубнички, а также банки, где нарисованы две ягоды: 10 + 4 + 8 = 22 банки.

Решение 2 способом.

Есть более быстрый способ решения этой задачи. Для этого надо сложить количество точек в первом и втором кругах: 18 + 12 = 30. Мы видим, что точки внутри двух кругов мы посчитали дважды. Следовательно, общее количество банок на 8 меньше, то есть равно 30 − 8 = 22 банки.

Ответ: 22 банки

Задача 2. На выходных ученики ходили в кино. 20 из них посмотрели фильм «Завод», 13 смотрели фильм «Хеллбой» из них 8 посмотрели оба фильма. Сколько учеников посмотрело только фильм «Завод»?

Для решения этой задачи нам помогут круги Эйлера. С помощью этих кругов можно показать отношения между каким-либо множеством и его частью. Леонард Эйлер, в честь которого названы эти круги - это швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук. Он родился в Швейцарии, но почти половину жизни провёл в России, поэтому он считается не только швейцарским математиком, но и российским.

Нарисуем схему:



Круг "Хеллбой" - те, кто посмотрели этот фильм. Над ним число 13 - количество посмотревших.
Круг "Завод" - те, кто посмотрел фильм "Завод". Над ним число 20 - количество посмотревших.

Эти круги пересекаются и в месте пересечения число 8 - количество тех, кто посмотрел оба этих фильма. Это число 8 входит и в число 13 - посмотревших "Хеллбой", и в число 20 - посмотревших "Завод".

Из схемы хорошо видно, что посмотревшие только фильм "Завод", и не посмотревшие фильм "Хеллбой" - находятся в заштрихованной зоне круга "Завод". В эту зону не входят те 8 человек, которые посмотрели и "Хеллбой" и "Завод".

Таким образом, эта задача решается в одно действие: из 20 человек, посмотревших "Завод", надо вычесть 8 человек, которые посмотрели и "Завод" и "Хеллбой", и тем самым мы получим число тех, кто посмотрел только "Завод".

20 - 8 = 12 человек

Ответ: 12 человек



Задача 3. В овощной магазин за 1 час зашло 20 человек. Из них 12 купили картошку, 5 – лук, 7 не купили ничего. Сколько человек купили и картошку и лук?

Как вы уже наверное поняли из предыдущей задачи, такого рода задачи можно решить и без рисования кругов Эйлера.

Решение

1. Найдём общее число покупателей. Для этого из тех 20 человек, которые зашли в магазин, вычтем те 7 человек, которые ничего не купили.

20 – 7 = 13

2. Найдём число тех, кто купил только лук
Для этого из 13-ти купивших вычтем 12 человек, которые купили картошку. Останутся те люди, которые купили только лук и не купили картошку.

13 – 12 = 1

3. Найдём число тех, кто купил и картошку и лук

В множество тех людей, кто купил лук, входят те, кто купил и картошку и лук и те, кто купил только лук.

Число тех, кто купил только лук, мы нашли во втором действии - это 1 чеовек.

5 – 1 = 4 - число тех, кто купил и картошку и лук.

Ответ: 4

Задача 3. В классе 27 учеников. Из них 16 занимаются плаванием, 10 – футболом, а 5 не занимаются ни тем, ни другим. Сколько футболистов ходит ещё и на плавание?

Решение

Для решения этой задачи нарисуем круги Эйлера, хотя задачу можно решить и без них.

Буквой "П" обозначим множество тех, кто занимается плаванием, буквой "Ф" - тех, кто занимается футболом. П+Ф - те, кто занимаются и плаванием и футболом.





Если мы вычтем из общего числа учеников (27) число тех, кто не занимается ни плаванием, ни футболом, то мы получим число тех, кто занимаются плаванием, футболом или и тем и другим.

1. Найдём число учеников, которые занимаются плаванием, футболом или и тем и другим
27 – 5 = 22

2. Найдём количество футболистов, которые не ходят на плавание

22 – 16 = 6

3. Найдём количество футболистов, которые ходят ещё и на плавание

В предыдущем действии мы наши число учеников, которые занимаются только футболом.
Таким образом, чтобы найти число учеников, которые занимаются и футболом, и плаванием, надо из общего числа футболистов вычесть тех, кто занимается только футболом (6).

10 – 6 = 4

Ответ: 4

При помощи кругов Эйлера также можно решать задачи про числа и их делимость. Числа тоже обладают схожими и различимыми свойствами. Единственное, работая с числами нам придется самим искать количество чисел с теми или иными признаками.

Задача 4. Мила попросила Пчеленка выписать все числа от 1 до 240, которые не делятся ни на 4, ни на 6. Сколько чисел выпишет Пчеленок?



Решение

Нарисуем круги Эйлера. Первый круг – это числа делящиеся на 4, второй – делящиеся на 6, они пересекаются, так как существуют числа, которые делятся и на 4 и на 6. И третий круг – это числа, которые не делятся ни на 4, ни на 6. Как мы знаем, что каждое четвертое число делится на 4, следовательно чисел, делящихся на 4 будет всего 240 : 4 = 60. Из всех чисел каждое шестое делится на 6, следовательно таких чисел будет 240 : 6 = 40. При этом мы знаем, что некоторые числа делятся и на 4, и на 6.

То есть эти числа будут делиться на 24, поэтому они составляются 24 часть общего количества, следовательно их будет 240 : 24 = 10.

Дальше задачу можно решить 2 способами.

1 способ.

Определим сколько чисел делится только на 4. Мы знаем, что всего чисел, которые делятся на четыре 60, а чисел, которые делятся и на 4 и на 6 всего 10. Значит из 60 – 10 = 50. Таким же способом определяем сколько чисел делится только на 6, 40 - 10 = 30. Теперь найдем общее количество чисел делящихся на 4 и 6, 50 + 30 + 10 = 90.

Теперь найдем числа, которые не делятся ни на 4, ни на 6. Для этого из общего количество цифр 240 вычтем числа, делящиеся на 4 и на 6. Получаем: 240 – 90 = 150.

2 способ.

Мы можем посчитать, сколько всего чисел делится или на 4, или на 6.

60 + 40 = 100

При этом у нас будут дважды посчитаны числа делящиеся и на 4, и на 6. Значит, чтобы получить настоящие количество чисел, надо из 100 отнять числа, делящиеся на 24, а их у нас 10. Получим 100 − 10 = 90. А чтобы найти числа, которые не делятся ни на 4, ни на 6 надо из общего количества чисел отнять те, что делятся или на 4, или на 6.

Получаем: 240 − 90 = 150

Ответ: 150 чисел

Задача 5.

При помощи кругов Эйлера можно также сравнивать количества не считая их, зная, как относятся между собой части.

У Кузи среди синих корабликов 6-я часть имеют белый парус, а среди корабликов с белым парусом 4-я часть имеют синий цвет корпуса. Каких корабликов меньше с синем корпусом или с белым парусом?



Решение

Нарисуем круги Эйлера, которые будут соответствовать корабликам синего цвета и корабликам с белым парусом. В пересечении кругов мы получим кораблики с синим корпусом и белым парусом одновременно. Именно они составляют 6-ю часть среди синих корабликов. Если мы их обозначим как 1 часть, то синих корабликов будет 5 частей. Аналогично с корабликами с белым парусом, если мы их обозначим как 1 часть, то корабликов с белым парусом будет 4 части. Теперь давайте сравним, 4-я часть меньше, чем 6-я. Следовательно корабликов с белым парусом меньше, чем корабликов с синим корпусом.