Задачи на соотношения и пропорции

Представьте себе вот такую задачу - "Размер прямоугольного тента 6x2 метра весит 2 кг. Сколько весит тент размерами 15x2 метра?".

В общем виде методика решения понятна - раз тент один и тот же, но разной площади, то нужно вычислить площадь первого тента, вычислить площадь второго, поучить соотношение этих площадей - то есть то, во сколько раз второй тент больше первого, и умножить это соотношение его на массу первого тента. Однако, в данной задаче площадь первого тента - 6∙2 = 12 м², площадь второго - 15∙2 = 30 м², а 30 на 12 без остатка не делится, а дети в 4-м классе с дробями работать ещё не умеют. Поэтому для решения данной задачи нужен несколько более хитрый подход. Решению таких задач и посвящён этот урок.

Первые задачи, которые мы будем разбирать в этом уроке, могут показаться очень простыми. Однако, они нужны нам для того, чтобы провести путь от простых задач к сложным задачам на соотношение площадей и масс и прочих параметров.

Задача 1

Круглый лист железа площадью 2 дм² весит 117 г. Сколько весит прямоугольный лист такого же железа такой же толщины размером 2 дм в ширину и 4 дм в длину?

Решение:

Площадь второго листа - произведение длины на высоту - 2∙4 = 8 дм².

Его площадь в 4 раза больше (8:2 = 4), чем площадь круглого листа железа. Так как железо одно и то же, то для того, чтобы узнать, сколько весит прямоугольный лист железа, надо массу круглого листа умножить на то, во сколько раз прямоугольный лист больше круглого, то есть на 4.

Масса второго листа:

117 * 4= 468 г

Обратим внимание, что в этой задаче не имеет значение, что первый лист круглый, а второй - прямоугольный. Важно только соотношение их площадей.

Ответ: 468 г

Задача 2

Лист железа площадью 1 м² весит 3999 г. Сколько весит лист такого же железа такой же толщины площадью 70000 квадратных сантиметров.

Решение:

Для решения этой задачи надо привести величины к одинаковым единицам измерения. Проще всего квадратные сантиметры перевести в метры. 1 м - это 100 см, 1 м² - это 10000 см².

Таким образом, 70000 см²:10000 это 7 м².

Если первый лист железа имеет площадь 1 м², а второй - 7 м², то, при условии, что железо одно и то же, масса второго листа в 7 раз больше.

Масса второго листа:

3999 *7 = 27993 г.

Ответ: 27993 г.

Задача 3

Прямоугольный лист картона размером 15 на 10 см весит 70 г. Сколько весит лист такого же картона такой же толщины со сторонами 75 на 10 см?


Решение:

Площадь первого листа: 15∙10 = 150 см²
Площадь второго листа: 75∙10 = 750 см²

Так как картон один и тот же, то второй лист будет весить больше первого листа во столько раз, во сколько больше его площадь, то есть в 5 раз, так как 750:150 = 5.

Масса второго листа: 70∙5 = 350 г.

Эту же задачу можно решить не вычисляя напрямую площади. Так как оба листа прямоугольные, у обеих одна сторона одинаковая - 10 см. Значит для того, чтобы найти, во сколько раз один лист больше второго, надо длину второй стороны одного листа разделить на длину второй стороны другого листа, то есть 75:15 = 5. То есть мы получили то же самое соотношение площадей, что и при делении 750:150. Соответственно, и масса второго листа при таком варианте решения будет той же, что и при первом варианте.

Ответ: 350 г

Задача 4

Прямоугольный лист меди размером 15 на 10 см весит 70 г. Сколько весит прямоугольный лист такой же меди размером 75 на 50?

Аналогично предыдущей задачи, эту можно решить двумя способами.

Способ первый - нахождение площадей

Площадь первого листа: 15∙10 = 150 см².
Площадь второго листа: 75∙50 = 3750 см².

Вычислим, во сколько раз второй лист больше первого:
3750:150 = 25.

Следовательно, масса второго листа в 25 раз больше массы первого: 70*25 = 1750 г.

Способ первый - нахождение соотношения сторон листов

Для того, чтобы не иметь дела с площадью и большими числами, можно найти, как соотносятся каждые из двух сторон этих двух листов, а потом перемножить эти соотношения.

Длина первого листа - 15, длина второго листа - 75.
Соотношение длин: 75:15 = 5

Ширина первого листа - 10, ширина второго листа - 50.
Соотношение ширин: 50:10 = 5


Произведение соотношений: 5∙5 = 25.

Таким образом, вторым способом мы тоже получили, что второй лист в 25 раз больше первого.

Следовательно, масса второго листа в 25 раз тоже в 25 раз больше массы первого.

Ответ: 1750 г

Задача 5

Размер прямоугольного тента 6x2 метра весит 2 кг. Сколько весит тент размерами 15x2 метра?

Это как раз та самая задача, про которую мы говорили в начале этого урока.
Как уже писалось выше, площади двух тентов (15∙2 = 30 и 6∙2 = 12) не делятся без остатка друг на друга. Если мы будем искать соотношение сторон по отдельности, то увидим, что 15 на 6 тоже не делится без остатка.

15 не делится нацело на 6, но делится на 3. Воспользуемся этим, и найдём массу тента со сторонами 3x2. Этот тент будет в два раза меньше первого тента 6x2. Одна сторона одинаковая - 2 метра, а вторая сторона в два раза меньше (6:3 = 2). Соответственно, масса тента со сторонами 3x2 = 2:2 = 1 кг.

Теперь рассмотрим тенты 3x2 и 15x2.

Одна сторона у этих тентов одинаковая - 2 м, а вторая сторона второго тента в 5 раз больше аналогичной стороны первого тента (15:3 = 5).

Таким образом, масса тента 15x2 в 5 раз больше массы тента 3x2. то есть 5∙1 = 5 кг.

Итак, для решения этой задачи нам нужно было придумать ещё один тент, стороны которого были бы кратны сторонам и первого тента и сторонам второго тента. Благодаря этому приёму мы сначала вычислили массу такого тента, зная массу первого тента, а потом легко вычислили массу нужного нам второго тента, пользуясь тем, что обе стороны этого тента кратны (делятся без остатка) сторонам нашего придуманного тента.


Ответ: 5 кг