Задачи на множества

Лучше всего знакомство со множествами начать с решения простых задач.

Задача 1. На выходных ученики ходили в кино. 20 из них посмотрели фильм «Завод», 13 смотрели фильм «Хеллбой» из них 8 посмотрели оба фильма. Сколько учеников посмотрело только фильм «Завод»?

Для решения этой задачи нам помогут круги Эйлера. С помощью этих кругов можно показать отношения между каким-либо множеством и его частью. Леонард Эйлер, в честь которого названы эти круги - это швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук. Он родился в Швейцарии, но почти половину жизни провёл в России, поэтому он считается не только швейцарским математиком, но и российским.

Нарисуем схему:



Круг "Хеллбой" - те, кто посмотрели этот фильм. Над ним число 13 - количество посмотревших.
Круг "Завод" - те, кто посмотрел фильм "Завод". Над ним число 20 - количество посмотревших.

Эти круги пересекаются и в месте пересечения число 8 - количество тех, кто посмотрел оба этих фильма. Это число 8 входит и в число 13 - посмотревших "Хеллбой", и в число 20 - посмотревших "Завод".

Из схемы хорошо видно, что посмотревшие только фильм "Завод", и не посмотревшие фильм "Хеллбой" - находятся в заштрихованной зоне круга "Завод". В эту зону не входят те 8 человек, которые посмотрели и "Хеллбой" и "Завод".

Таким образом, эта задача решается в одно действие: из 20 человек, посмотревших "Завод", надо вычесть 8 человек, которые посмотрели и "Завод" и "Хеллбой", и тем самым мы получим число тех, кто посмотрел только "Завод".

20 - 8 = 12 человек

Ответ: 12 человек



Задача 2. В овощной магазин за 1 час зашло 20 человек. Из них 12 купили картошку, 5 – лук, 7 не купили ничего. Сколько человек купили и картошку и лук?

Как вы уже наверное поняли из предыдущей задачи, такого рода задачи можно решить и без рисования кругов Эйлера.

Решение

1. Найдём общее число покупателей. Для этого из тех 20 человек, которые зашли в магазин, вычтем те 7 человек, которые ничего не купили.

20 – 7 = 13

2. Найдём число тех, кто купил только лук
Для этого из 13-ти купивших вычтем 12 человек, которые купили картошку. Останутся те люди, которые купили только лук и не купили картошку.

13 – 12 = 1

3. Найдём число тех, кто купил и картошку и лук

В множество тех людей, кто купил лук, входят те, кто купил и картошку и лук и те, кто купил только лук.

Число тех, кто купил только лук, мы нашли во втором действии - это 1 чеовек.

5 – 1 = 4 - число тех, кто купил и картошку и лук.

Ответ: 4

Задача 3. В классе 27 учеников. Из них 16 занимаются плаванием, 10 – футболом, а 5 не занимаются ни тем, ни другим. Сколько футболистов ходит ещё и на плавание?

Решение

Для решения этой задачи нарисуем круги Эйлера, хотя задачу можно решить и без них.

Буквой "П" обозначим множество тех, кто занимается плаванием, буквой "Ф" - тех, кто занимается футболом. П+Ф - те, кто занимаются и плаванием и футболом.





Если мы вычтем из общего числа учеников (27) число тех, кто не занимается ни плаванием, ни футболом, то мы получим число тех, кто занимаются плаванием, футболом или и тем и другим.

1. Найдём число учеников, которые занимаются плаванием, футболом или и тем и другим
27 – 5 = 22

2. Найдём количество футболистов, которые не ходят на плавание

22 – 16 = 6

3. Найдём количество футболистов, которые ходят ещё и на плавание

В предыдущем действии мы наши число учеников, которые занимаются только футболом.
Таким образом, чтобы найти число учеников, которые занимаются и футболом, и плаванием, надо из общего числа футболистов вычесть тех, кто занимается только футболом (6).

10 – 6 = 4

Ответ: 4