Задача: Существует ли 3 таких целых числа, произведение которых равно 390, а сумма 27

Обратим внимание, что сумма чисел равна 27 - т.е. она нечётная.
При сложении трёх чисел нечётное число может получиться в двух случаях:
1) Все три числа нечётные
2) Два чётные, а одно нечётное

Это правило не обязательно запоминать, всегда можно прикинуть на маленьких числах.

Произведение чисел - 390 - чётное число. Это означает, что вариант 1 (все три числа нечётные) нам не подходит.
Соответственно, остаётся только вариант 2 - два числа чётные, одно нечётное.
И мы должны понять, существуют ли числа, удовлетворяющие условию 2 и дающие при перемножении друг друга 390.

Что означает, что из трёх множителей два - чётные числа?
Это значит, что произведение этих трёх множителей должно делиться на 4. Или, что тоже самое, должно один раз поделиться без остатка на 2, и потом результат этого деления опять должен без остатка поделиться на 2. Делить два раза подряд на 2 - это всё равно, что один раз поделить на 4.

И мы видим, что число 380 на 4 не делится:

1) 390:2 = 195
2) 195:2 = 97 и остаток 1.

Таким образом, мы выяснили, что ответ на эту задачу - "нет". Не существует трёх таких целых чисел, произведение которых равно 390, а сумма 27.

Ответ: нет