Задача: 12 бегунов требуется разбить на 3 равные группы по 4 бегуна в каждой

Когда мы формируем первую группу, то мы можем выбирать из всех 12 человек. Когда мы выберем одного из них, останется 11 человек для выбора. Когда выберем второго, останется 10, когда выберем третьего, то для того, чтобы выбрать последнего 4-го, останется 10 человек для выбора.

Таким образом, мы можем записать, что

1. Число вариантов формирования первой группы: 12∙11∙10∙9 = 11880

При этом группа, в которой вначале выбрали бегуна под номером 3, вторым - бегуна под номером 10, третьим - бегуна под номером 5, а четвёртым - бегуна под номером 7, ничем, с точки зрения условий задачи, не будет отличаться от группы, где, например, первым выбрали бегуна номер 7, четвёртым - бегуна номер 3, а второй и третий остались теми же. Любой другой порядок выбора тех же бегунов в эту группу не делает эту группу другой, с точки зрения нашей задачи это будет всё та же самая группа. Поэтому нам надо посчитать, сколько всего перестановок одних и тех же бегунов может быть в этой группе.

Ответ на этот вопрос можно найти точно так же, как мы искали ответ на вопрос Сколько существует вариантов распределения мест между участниками соревнований?.


Число вариантов перестановок в группе = 4∙3∙2∙1= 24 ("первые" место в группе могут занять все 4 выбранных человека, после того как первое место место уже занято, остаётся три "нераспределённых" по местам человека, и на второе место в группе претендуют трое, когда на второе место выбрали человека, то на третье место остаётся только два, и в итоге на чётвёртое место остается только один).

Теперь поделим общее число вариантов формирования первой группы на число перестановок, чтобы узнать число вариантов формирования первой группы без учёта перестановок:

Число вариантов формирования первой группы без учёта перестановок = 11880:24 = 495


2. После того, как мы сформировали первую группу, для формирования второй остаётся 12-4 = 8 человек.
При этом, поскольку вторая группа также состоит из 4-х человек, то число перестановок одних и тех же людей в этой группе составляет те же 24, что и для первой группы.

Число вариантов формирования второй группы: 8∙7∙6∙5 = 1680

Число вариантов формирования второй группы без учёта перестановок = 1680:24 = 70



3. После того, как мы сформировали вторую группу, осталось всего 4 человека, и они образуют только один вариант формирования третьей группы без учёта перестановок.

Число вариантов формирования третьей группы: 1

4. Для того, чтобы ответить на исходный вопрос и найти, сколькими способами группу бегунов из 12 человек можно разбить на три группы, надо суммировать число вариантов формирования каждой из групп:

Число вариантов формирования трёх групп = 495∙70∙1 = 34650

Ответ: 34650