Решение задач, связанных с датами и календарём

Если ваш ребёнок отправляется на экзамен или олимпиаду, где могут быть задачи, связанные с календарём, убедитесь, что он знает, сколько дней в каждом месяце, помнит про високосные года - что високосный год это тот, который без остатка делится на 4, и что у високосного года в феврале 29 дней, а дней в году 366. Это критически важно для таких задач. На экзамене подсмотреть в календарь в смартфоне будет нельзя.


А теперь на конкретных примерах рассмотрим, как решать такие задачи.

1. Задача. Может ли в одном месяце быть 5 четвергов, 5 суббот и 5 воскресений и при каких условиях?

Решение
В каждом месяце 4 полных недели (28 дней) и, если это не февраль, то ещё 2 или 3 дня. Если это февраль високосного года, то ещё 1 день. Таким образом, в каждом месяце гарантированно 4 раза встречается каждый день недели, и ещё 2 или 3 дня недели могут встречаться 5 раз.

Очевидно, что для того, чтобы какой-то день недели гарантированно (кроме февраля) был в месяце 5 раз, надо чтобы первое число этого месяца приходилось на этот день недели, в крайнем случае второе число.

Нам надо ответить на вопрос, могут ли в одном месяце одновременно быть 5 четвергов, 5 суббот и 5 воскресений.



Вариант 1. Месяц начинается с понедельника:


Вариант 2. Месяц начинается с четверга:


Если первое число месяца приходится на четверг, то пятый четверг приходится на 1 + 7∙4 = 1 + 28 = 29 число.
После этого ещё будет одна пятница 30-го числа, и, если в месяце 31 день, то одна суббота.

Т.к. нет месяцев, в которых 32 дня, то 5 четвергов и 5 воскресений быть не может.

Ответ: 5 четвергов и 5 суббот может быть только если в месяце 31 день, и первое число приходится на четверг. 5 четвергов и 5 воскресений быть не может.

2. Задача В феврале 2008 года 5 пятниц. На какой день недели приходится 21 февраля 2008 года?

Решение

2008 – это високосный год, т.е в феврале 29 дней. 5 пятниц может быть только при условии, что 1 февраля приходится на пятницу (вспомним решение предыдущей задачи). Тогда последняя пятница – это 1 + 7∙4 = 29 февраля. Таким образом, если 29 февраля – пятница, то 22 февраля тоже пятница (29 – 7 = 22). Таким образом, 21 февраля – четверг.

Ответ: четверг

Проверка:

3. Задача. В некотором месяце три субботы пришлись на чётные числа. Какой день недели был 11 числа этого месяца?

Решение
Во-первых, вспомним, что в каждом месяце может быть максимум 5 одинаковых дней недели. И вспомним, что чётное число при сложении с нечётным даёт нечётное число. Так как в неделе 7 дней, то чётные субботы (приходящиеся на чётные числа) чередуются с нечётными – равно как и чётные понедельники чередуются с нечётными и т.д.

То есть если у нас максимум 5 одинаковых дней недели в месяце, и из них три пришлись на чётные числа, то это значит, что самый первый такой день недели должен приходиться на чётное число. Таким образом, если у нас первая суббота – чётная, то вторая – нечётная, третья опять чётная, четвёртая нечётная и последняя пятая – чётная.

Наименьшее чётное число – это 2. То есть первый день месяца – это пятница, второй день – суббота. Таким образом, 9 число тоже суббота (2 + 7 = 9). Следовательно, 10 – это воскресение, а 11 – понедельник.

Ответ: понедельник.4

Итак, на основе решения этих задач мы можем запомнить важные правила, которые пригодятся для решения других задач, связанных с календарём:

1. В месяце гарантированно есть 4 одинаковых дня недели, и может быть максимум 5 одинаковых дней недели.

2. Для того, чтобы в месяце было 5 одинаковых дней недели, надо, чтобы этот день недели приходился на 1 или 2 число месяца. В случае, если в месяце 31 день, то он может приходиться и на 3 число (3 + 7∙4 = 31)

3. Так как в неделе 7 дней (нечётное число), то одинаковые дни недели поочерёдно выпадают на чётные и нечётные числа месяца. Не может быть такого, что два одинаковых дня недели в соседних неделях приходятся оба на чётные или оба на нечётные числа.

4. Зная, сколько всего заданных дней недели в месяце, и сколько из них пришлось на чётные или нечётные числа, мы можем понять, на какое число - чётное или нечётное выпал первый соответствующий день недели в этом месяце.