Вступительные экзамены на Малый Мехмат для пятиклассников

1. Электропоезд длиной 200 м проезжает мимо столба за 9 секунд. Сколько времени ему понадобится, чтобы проехать мост длиной 400 м?

2. Семь школьников играют шахматный турнир по круговой схеме (каждый играет с каждым ровно один раз). Оказалось, что до обеденного перерыва Ваня сыграл 6 партий, Толя — 5 партий, Леша и Дима — по 3, Семен и Илья — по 2, а Женя — только одну. С кем до обеда успел сыграть Леша?

В ответе напишите заглавные буквы имен соперников Леши через пробел в алфавитном порядке. Например: С И Ж

3. Разрежьте фигуру (рисунок внизу) на две равные по форме и размеру части.

4. 10 человек собрали вместе 46 грибов, причем известно, что нет двух человек, собравших одинаковое количество грибов. Сколько грибов собрал каждый?

Внимание: в ответе число грибов укажите через пробел по возрастанию.

5. Король хочет построить 6 крепостей и соединить их прямыми дорогами (каждую с каждой) так, чтобы получилось только 3 перекрестка, а на каждом перекрестке пересекались только 2 дороги. Возможно ли это? (Если возможно, нарисуйте ниже, как это сделать. Если нет — объясните, почему).

6. Незнайкин счет в банке содержит 500 фертингов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 фертингов или добавлять 198 фертингов. Какую максимальную сумму Незнайка может снять со счета, если других денег у него нет? (Нужно не только найти ответ, но и доказать, что большую сумму Незнайка снять не может).

7. Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алёше Поповичу за верную службу дали 6 монет: 3 золотых и 3 серебряных. Каждому досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие Алёше, но знает, какие монеты достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Илья Муромец ответит "да", "нет" или "не знаю", и по ответу на который вы сможете понять, какие монеты ему достались.