Тест на уровень знаний
Подберите задачи для теста по своим критериям.
Вступительные экзамены в физматшколы
Вступительные экзамены в 5-й класс физматшкол Петербурга и Москвы за разные годы.
Хотите больше материалов по математике?
Курс по подготовке ребёнка к поступлению в 5-е классы престижных школ и к олимпиадной
математике.
Стоимость:
1 990 руб.
1 990 руб.
16 часов
видео
видео
Набор задач для самостоятельного решения
Видеоматериал, где подробно рассказывается, как решать задачи по следующим темам:
- Задачи на движение
- Уравнения и решение задач с помощью уравнений
- Системы уравнений и решение задач с помощью систем уравнений
- Периметр, площадь и объём фигур
- Упрощение выражений
- Множества
- Чет-нечет
- Задачи, связанные с календарём
- Свойства чисел
- Части
- Ряды
- Распилы
- Разрезание геометрических фигур
- Комбинаторика
- Взвешивание и переливание
Магический квадрат
Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Минимальный размер магического квадрата - 3x3. Задачи на магический квадрат часто встречаются на математических олимпиадах для 4 и 5 класса.
Магическая константа M - сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях.
Для квадрата любой размерности n∙n минимальная магическая константа вычисляется по следующей формуле:
Для квадрата размера 3x3 минимально возможная магическая константа будет равна:
3(32 + 1)/2 = 3(9 + 1)/2 = 15
Подчеркнём, что 15 - это не единственно возможная магическая константа для квадрата 3x3, а константа, меньше которой других констант для этого квадрата быть не может.
Важное правило, которое вам пригодится при построении магического квадрата 3x3:
То есть, если у нас магическая константа M = 15, то в центре квадрата 3x3 будет стоять
15:3 = 5.
Для дальнейшего составления магического квадрата с магической константой M=15 расставьте по углам чётные числа 2,4,8,6.
Как видим, по сумма чисел на диагоналях квадрата равна 15, то есть магической константе.
Зная магическую константу и по два числа в ряду и столбце, мы можем вписать третье число в ряд и столбец. Определить это число очень просто - надо из магической константы вычесть два числа из ряда или столбца.
Применив этот метод, мы получим полностью заполненный магический квадрат:
Ещё одно важное правило построения магических квадратов:
Пример 1. К числам в нашем магическом квадрате с M=15 прибавим 3 и 5
Как видим, у первого квадрата сумма чисел по вертикали, горизонтали и диагонали одинакова и составляет 24 (это и есть его магическая константа), а у второго квадрата магическая константа равна 30.
У этих двух квадратов число в центре по прежнему в три раза меньше, чем магическая константа (8 у первого квадрата и 10 у второго).
Пример 2. Числа нашего магического квадрата с M=15 умножим на 2 и на 3
Как видим, в первом случае, после умножения чисел на два, мы получили квадрат с магической константой 30 - та же самая константа, что и после того, как в первом примере мы увеличили все числа на 5. Но при этом, несмотря на то, что у этих двух магических квадратах одинаковые магические константы, числа при этом в клетках разные - а вот число в центральном квадрате одно и то же - это 10.
Так и должно быть, ведь, как было сказано выше, в магическом квадрате 3x3 число в центральной клетке должно быть в три раза меньше магической константы. Т.к. магическая константа у обеих магических квадратов одинаковая, то и центральное число одно и то же.
Задача 1.
Постройте магический квадрат с магической константой 39.
Зная магическую константу, мы легко найдём число, которое должно быть в центральной клетке - нужно магическую константу разделить на 3. 39:3 = 13.
Далее можно или подбирать числа (помня о том, что сумма чисел по диагонали, по горизонтали и по вертикали должна быть равна магической константе) или, для ускорения процесса, воспользоваться знанием чисел магического квадрата с минимальной магической константой M = 15.
Напомним этот квадрат:
В центре этого квадрата - число 5. В центре того квадрата, который мы должны построить - число 13.
Разница между этими числами составляет 8. И, как следует из правила, которое мы написали выше, если все числа одного магического квадрата увеличить на одно и то же число, то получится другой магический квадрат.
Достаточно запомнить, что в центре минимального магического квадрата - 5, а по углам - чётные числа 2, 4, 6, 8. Таким образом, нам надо увеличить эти числа на 8. Далее будет легко заполнить оставшиеся клетки (числа в них вычисляются как магическая константа минус числа в ряду или столбце).
В итоге получится вот такой квадрат:
Задача 2.
Достройте магический квадрат
В этом квадрате мы знаем число в центральной клетке (9), а, значит, мы знаем магическую константу, которая в 3 раза больше и равна 27. Ну а зная магическую константу и три первоначальных числа, вписать оставшиеся числа в клетки не составит труда.
Решение:
Мы не будем подробно останавливаться на магических квадратах 4x4 - они почти не встречаются на математических олимпиадах и вступительных экзаменах в физматшколы, но общее представление о них дадим.
Минимально возможная магическая константа вычисляется всё по той же формуле:
M = 4(42 + 1)/2 = 34.
У квадрата 4x4 обе стороны чётные, а это значит, что центральной клетки, в отличие от квадрата 3x3, у него нет, и нет соответствующей закономерности, с ним связанной.
Однако, у этого квадрата есть другие закономерности:
Помимо того, что у магического квадрата 4x4 равна сумма числе по диагонали, вертикали и горизонтали, у него сумма чисел в угловых квадратах 2x2 равна магической константе M, сумма чисел в центральном квадрате 2x2 также равна M, и сумма чисел в углах квадрата тоже равна M.
Сумма чисел в левом верхнем квадрате 2x2: 16+3+5+10 = 34. В трёх других угловых квадратах 2x2 сумма также равна магической константе, о чём и сказано выше.
Сумма чисел в центральном квадрате 2x2 также равна магической константе 34: 10+11+6+7 = 34.
Сумма чисел в углах магического квадрата тоже равна магической константе: 16+13+4+1 = 34
Для квадрата любой размерности n∙n минимальная магическая константа вычисляется по следующей формуле:
M = n(n2 + 1)/2
I. Магический квадрат 3x3
Для квадрата размера 3x3 минимально возможная магическая константа будет равна:
3(32 + 1)/2 = 3(9 + 1)/2 = 15
Подчеркнём, что 15 - это не единственно возможная магическая константа для квадрата 3x3, а константа, меньше которой других констант для этого квадрата быть не может.
Важное правило, которое вам пригодится при построении магического квадрата 3x3:
Число в центре квадрата 3x3 всегда в три раза меньше магической константы.
То есть, если у нас магическая константа M = 15, то в центре квадрата 3x3 будет стоять
15:3 = 5.
Для дальнейшего составления магического квадрата с магической константой M=15 расставьте по углам чётные числа 2,4,8,6.
Как видим, по сумма чисел на диагоналях квадрата равна 15, то есть магической константе.
Хотите, чтобы ваш ребёнок обучался самостоятельно?
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС
Зная магическую константу и по два числа в ряду и столбце, мы можем вписать третье число в ряд и столбец. Определить это число очень просто - надо из магической константы вычесть два числа из ряда или столбца.
Применив этот метод, мы получим полностью заполненный магический квадрат:
Ещё одно важное правило построения магических квадратов:
Если у нас есть один магический квадрат, и мы все числа этого квадрата увеличим на одно и то же число или умножим на одно и то же число, то у нас опять получится квадрат. Это правило достаточно очевидно.
Пример 1. К числам в нашем магическом квадрате с M=15 прибавим 3 и 5
Как видим, у первого квадрата сумма чисел по вертикали, горизонтали и диагонали одинакова и составляет 24 (это и есть его магическая константа), а у второго квадрата магическая константа равна 30.
У этих двух квадратов число в центре по прежнему в три раза меньше, чем магическая константа (8 у первого квадрата и 10 у второго).
Пример 2. Числа нашего магического квадрата с M=15 умножим на 2 и на 3
Как видим, в первом случае, после умножения чисел на два, мы получили квадрат с магической константой 30 - та же самая константа, что и после того, как в первом примере мы увеличили все числа на 5. Но при этом, несмотря на то, что у этих двух магических квадратах одинаковые магические константы, числа при этом в клетках разные - а вот число в центральном квадрате одно и то же - это 10.
Так и должно быть, ведь, как было сказано выше, в магическом квадрате 3x3 число в центральной клетке должно быть в три раза меньше магической константы. Т.к. магическая константа у обеих магических квадратов одинаковая, то и центральное число одно и то же.
Задача 1.
Постройте магический квадрат с магической константой 39.
Зная магическую константу, мы легко найдём число, которое должно быть в центральной клетке - нужно магическую константу разделить на 3. 39:3 = 13.
Далее можно или подбирать числа (помня о том, что сумма чисел по диагонали, по горизонтали и по вертикали должна быть равна магической константе) или, для ускорения процесса, воспользоваться знанием чисел магического квадрата с минимальной магической константой M = 15.
ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.
Напомним этот квадрат:
В центре этого квадрата - число 5. В центре того квадрата, который мы должны построить - число 13.
Разница между этими числами составляет 8. И, как следует из правила, которое мы написали выше, если все числа одного магического квадрата увеличить на одно и то же число, то получится другой магический квадрат.
Достаточно запомнить, что в центре минимального магического квадрата - 5, а по углам - чётные числа 2, 4, 6, 8. Таким образом, нам надо увеличить эти числа на 8. Далее будет легко заполнить оставшиеся клетки (числа в них вычисляются как магическая константа минус числа в ряду или столбце).
В итоге получится вот такой квадрат:
Задача 2.
Достройте магический квадрат
В этом квадрате мы знаем число в центральной клетке (9), а, значит, мы знаем магическую константу, которая в 3 раза больше и равна 27. Ну а зная магическую константу и три первоначальных числа, вписать оставшиеся числа в клетки не составит труда.
Решение:
ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.
II. Магический квадрат 4x4
Мы не будем подробно останавливаться на магических квадратах 4x4 - они почти не встречаются на математических олимпиадах и вступительных экзаменах в физматшколы, но общее представление о них дадим.
Минимально возможная магическая константа вычисляется всё по той же формуле:
M = n(n2 + 1)/2
M = 4(42 + 1)/2 = 34.
У квадрата 4x4 обе стороны чётные, а это значит, что центральной клетки, в отличие от квадрата 3x3, у него нет, и нет соответствующей закономерности, с ним связанной.
Однако, у этого квадрата есть другие закономерности:
Помимо того, что у магического квадрата 4x4 равна сумма числе по диагонали, вертикали и горизонтали, у него сумма чисел в угловых квадратах 2x2 равна магической константе M, сумма чисел в центральном квадрате 2x2 также равна M, и сумма чисел в углах квадрата тоже равна M.
Сумма чисел в левом верхнем квадрате 2x2: 16+3+5+10 = 34. В трёх других угловых квадратах 2x2 сумма также равна магической константе, о чём и сказано выше.
Сумма чисел в центральном квадрате 2x2 также равна магической константе 34: 10+11+6+7 = 34.
Сумма чисел в углах магического квадрата тоже равна магической константе: 16+13+4+1 = 34
Дата публикации
