Задача: Две весёлых и четыре грустных обезьяны съедают ящик бананов за 30 минут

Это простая задача, если решить её путём составления системы уравнений. Однако, это задача для учеников, заканчивающих 4-й класс, и предполагается, что про системы уравнений они скорее всего не знают, значит, задачу нужно решать другим путём.

Видеоразбор этой задачи вы можете посмотреть в этом видео, а если не хотите смотреть, то можете прочитать решение в текстовом виде.



Как показал наш опыт, подавляющее большинство взрослых, которым мы показывали эту задачу начинали примерно с таких рассуждений:

2В + 4Г -> 30 мин
2В + 1Г -> 40 мин

Тут В и Г – это весёлые и грустные обезьяны. Вместо знака равно мы ставим ->, так как это не уравнение – обезьян к минутам приравнивать нельзя.

Далее делается вывод, что если вычесть левую и правую части друг из друга, то получится что 3Г -> 10 мин, то есть три грустных обезьяны дают выигрыш в 10 минут (ведь по условию задачи у нас в обеих случаях скорость поедания бананов одинаковая). И далее с помощью этих десяти минут люди пытаются решить задачу и не получают верного ответа. Почему? Потому что с математической точки зрения скорость обезьян из первого уравнения выражена в других единицах, нежели чем скорость обезьян из вторых – и пока единицы измерения не будут приведены к одному виду, производить математические операции нельзя.

Сейчас я объясню подробнее, что имеется ввиду. Рассмотрим такой пример. Пусть у нас есть задача на движение, в которой сказано, что один автомобиль проехал 100 км за 2 часа, а другой – 200 км за 4 часа. Понятно, что скорости у них одинаковые = 50 км/ч. Но, пока мы не произвели деление 100 на 2 и 200 на 4, у нас у первого автомобиля скорость задана в двухчасовых интервалах, а у второго – в четырёхчасовых интервалах. (Мы можем ввести собственные единицы времени, назвать их, например, «дуочас», равный двум часам, и квадрочас, равный четырём часам. Тогда скорость первого автомобиля у нас будет 100 км/дуочас, а скорость второго – 200 км/квадрочас. Для того, чтобы скорости этих автомобилей могли участвовать в уравнениях, надо привести их к одинаковым единицам измерения – км/ч).

Теперь вернёмся к нашим обезьянам. Ранее мы записали вот такое соотношение:

2В + 4Г -> 30 мин
2В + 1Г -> 40 мин

В этом соотношении в явном виде скоростей поедания нет, но в неявном виде они присутствуют. И в первом выражении скорость поедания обезьян – это ящик/30 минут, а во втором – ящик/40 минут.

Да, у них одинаковые скорости в физическом смысле, но для их записи используются разные единицы измерения – ящик/30 минут и ящик/40 минут.

Напрашивается очевидный вариант решения – сделать так, чтобы обезьяны ели одинаковое количество времени. Пусть это будет наименьшее общее кратное для 30 и 40, то есть 120 минут.

При этом мы знаем, что если две весёлых и 4 грустных обезьяны за 30 минут съедают один ящик, то значит за 120 минут они съедят 4 ящика (120:30 = 4).
И если две весёлых и одна грустная за 40 минут съедают 1 ящик бананов, то за 120 минут они съедят 3 ящика (120:40 = 3).

То есть мы можем записать

2В + 4Г -> 4 ящика
2В + 1Г -> 3 ящика

И вот теперь мы уже с полным правом можем сказать, что три грустных обезьяны дают преимущество в 1 ящик, который они съедают за 120 минут. Теперь у нас в обеих уравнениях единица измерения скорости поедания – это ящик/120 минут, поэтому мы смело можем вычитать обезьян из левой части, а ящики из право.

Итак,

3Г -> 1 ящик

Если три грустных обезьяны съедают 1 ящик за 120 минут, значит одна грустная обезьяна будет есть ящик в три раза дольше, то есть 360 минут.
Если мы умеем работать с дробями, то дальше можно решить задачу в лоб, используя знание, что скорость поедания бананов у грустной обезьяны - 1/360 ящика в в минуту.

Однако, если в 4-м классе вы ещё незнакомы с дробями, то для решения этой задачки надо применить некоторую хитрость.

Итак, известно, что

2В + 1Г -> 3 ящика за 120 минут.

Таким образом, если увеличить число обезьян в три раза, то за то же самое время они съедят в три раза больше ящиков с бананами. То есть

6В + 3Г -> 9 ящиков за 120 минут

При этом, как мы вычислили ранее, три грустных обезьяны съедают один ящик за 120 минут. То есть без трёх грустных обезьян 6 весёлых обезьян съедят 8 ящиков за 120 минут. Мы специально увеличили число обезьян в три раза, чтобы у нас получилось 3 грустных обезьяны мы могли бы от них «избавиться», уменьшив число съеденных ящиков на 1.

Итак,
6В -> 8 ящиков за 120 минут

То есть одна весёлая обезьяна будет есть эти 8 ящиков в 6 раз дольше, то
есть 120∙6 = 720

1В -> 8 ящиков за 720 минут

Таким образом, если 8 ящиков одной весёлой обезьяной съедаются за 720 минут, то
1 ящик съедается за 720:8 = 90 минут.

Ответ: 90 минут

Эту задачу можно решить и вторым, более коротким способом.

Второй способ

Пусть В – скорость поедания бананов у весёлых обезьян, а Г – скорость поедания бананов у грустных обезьян, выраженная в ящиках/минута. Для того, чтобы узнать, сколько ящиков съедят обезьяны за заданное время, надо скорость поедания умножить на время.

В первом случае обезьяны ели 30 минут, во втором 40. Запишем:

30∙2В +30∙4Г = 1 - за 30 минут съели один ящик
40∙2В + 40∙1Г = 1 - за 40 минут съели один ящик



Поскольку ящики одинаковые, то мы можем приравнять эти уравнения друг к другу:

40∙2В + 40Г = 30∙2В +30∙4Г
80В + 40Г = 60В + 120Г
20В = 80Г
В = 4Г

Скорость поедания ящика у одной весёлой обезьяны в 4 раза больше скорости поедания ящика одной грустной

Зная, что В = 4Г, запишем:

80∙4Г + 40∙Г = 1
360Г= 1

То есть одна грустная обезьяна будет есть ящик бананов 360 минут.
Так как скорость поедания у весёлой обезьяны в 4 раза выше, то она будет есть ящик 360:4 = 90 минут.

Ответ: 90 минут