Решение задач на поиск закономерностей у большого числа объектов

Задача 1

На прямой отмечено 250 точек так, что расстояние между любыми соседними точками равно 2 см. Чему равно расстояние между крайними точками?

Решение

Если вы помните правило, что количество интервалов между точками на один меньше, чем число точек, то решение простое – число интервалов умножаем на длину интервала и получаем, что (250-1)∙2 = 498.

Однако, предположим, что ребёнок забыл это правило. Значит надо просто его вывести прямо во время решения задачи. Надо начать с маленького числа точек.
Возьмём три точки:

. . .

Видно, что между ними 2 интервала, то есть на один меньше, чем число точек. Возьмём 5 точек:

. . . . .


Видно, что между ними всего 4 интервала, то есть опять на один меньше. Исходя из этого, делаем вывод, что между 250 точками тоже будет на один интервал меньше, и легко решаем задачу.

(250 - 1)∙2 = 498

Ответ: 498 см.

Задача 2

Сколько чётных чисел расположено от 339 до 1101?


Решение

Решение тут понятно – надо вычесть из большего числа меньшее и поделить на два. Однако дальше, если вы не знаете заранее, непонятно – то ли результат деления и будет ответом, то ли к нему надо прибавить 1, то ли вычесть один – возможны варианты.

Для решения этой задачи рассмотрим более короткий интервал. Обратим внимание, что в нашей задаче и начальное и конечное число являются нечётными, значит и в нашем укороченном интервале должно быть так же.

Пусть это будут числа 9 и 23.

23-9 = 14, 14:2 = 7.

Возможно, чётных чисел должно быть именно столько.
Выпишем все чётные числа между 9 и 23:

10 12 14 16 18 20 22

Получилось 7 чисел.

То есть, действительно, для того, чтобы найти количество чётных чисел между двумя нечётными, надо разность этих чисел поделить на 2.

Для нашей исходной задачи получим следующий ответ:
1101 – 339 = 762

762:2 = 381

Ответ: 381

Задача 3

Представьте себе выпуклый двадцатиугольник (у него 20 вершин). Одну из его вершин соединим отрезками со всеми остальными. На сколько треугольников мы разделим двадцатиугольник?

Решение

Рассмотрим 5-угольник и 7-угольник.




Как видим, число треугольников внутри них, если одну вершину соединить со всеми другими, на два меньше, чем число вершин. В пятиугольнике - 3 треугольника, в семиугольнике - 5 треугольников.

Соответственно, в 20 угольнике будет 18 треугольников.

Ответ: 18 треугольников

Задача 4

Дима написал число гугол (единица со ста нулями) и вычел из него 100. Найдите сумму цифр результата.

Решение:

Если проявить немного сообразительности, то сходу можно понять, что в получившемся числе будет 98 девяток и два нуля. То есть сумма цифр будет 98∙9 = 882


Однако, предположим, что большое число вас смутило. Тогда найдём закономерность на более мелких числах

1000 – 100 = 900
10000 – 100 = 9900
100000 - 100 = 99900

Как видим, после вычитания 100 число девяток в результате на два меньше, чем число нулей.

Таким образом, поскольку в числе гугол 100 нулей, то после вычитания из него 100 получится число, в котором вначале идут 98 девяток подряд, и в конце два нуля.

Так как нам надо найти сумму цифр этого числа, то надо 98 умножить на 9

98∙9 = 882

Ответ: 882