Тест на уровень знаний
Подберите задачи для теста по своим критериям.
Вступительные экзамены в физматшколы
Вступительные экзамены в 5-й класс физматшкол Петербурга и Москвы за разные годы.
Хотите больше материалов по математике?
Курс по подготовке ребёнка к поступлению в 5-е классы престижных школ и к олимпиадной
математике.
Стоимость:
1 990 руб.
1 990 руб.
16 часов
видео
видео
Набор задач для самостоятельного решения
Видеоматериал, где подробно рассказывается, как решать задачи по следующим темам:
- Задачи на движение
- Уравнения и решение задач с помощью уравнений
- Системы уравнений и решение задач с помощью систем уравнений
- Периметр, площадь и объём фигур
- Упрощение выражений
- Множества
- Чет-нечет
- Задачи, связанные с календарём
- Свойства чисел
- Части
- Ряды
- Распилы
- Разрезание геометрических фигур
- Комбинаторика
- Взвешивание и переливание
Вычисление и упрощение выражений
В этом уроке мы рассказываем, как упрощать длинные математические выражения в 4-5 классе - как раскрывать скобки, выносить общий множитель за скобки, представлять число в виде суммы или разности чисел, раскладывать число на множители
Представьте, что у вас нет калькулятора, и нужно найти значение вот такого выражения:
500 + 399∙242 – (788 - 402∙260)
Для вычисления такого рода выражений существуют специальные приёмы, которые мы рассмотрим вначале на простых примерах, а потом на сложных.
1. Раскрытие скобок
Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобки можно просто убрать
2 + 8 + (5 - 4) = 2 + 8 + 5 - 4
Если перед скобкой стоит знак минус, то при раскрытии скобок знаки в скобках заменяются на противоположные - минус меняется на плюс, а плюс (или отсутствие знака, если число стоит первым в скобках) - на минус.
2 + 8 - (10 - 4 + 3) = 2 + 8 - 10 + 4 - 3
Проверим, что левая и правая части равны. Выражение в скобках (10 - 4 + 3) в левой части равно 9.
2 + 8 - 9 = 1
Выражение в правой части тоже равно 1
Таким образом, правило, что в случае минуса перед скобкой знаки внутри скобок меняются на противоположные, работает верно.
2. Раскрытие скобок с множителем перед ними.
Если перед скобкой есть множитель, то перед раскрытием скобок надо или вычислить выражение в скобках и умножить его на множитель, или множитель умножить на каждый элемент в скобках.
Пример:
12 + 3∙(15 - 2 + 6) = 12 + 3∙19 = 12 + 57 = 69
Или же выражение мы можем записать так:
12 + 3∙15 - 3∙2 + 3∙6 = 12 + 45 - 6 + 18 = 69
Мы получили тот же результат - 69, что и в первом случае.
Если перед скобками стоит минус и у скобок есть множитель, то правило, что при раскрытии скобок знаки внутри скобок меняются на противоположные, сохраняется.
Пример:
160 - 4∙(20 - 5 - 3) = 160 - 4∙20 + 4∙5 + 4∙3 = 160 - 80 + 20 + 12 = 112
Если мы вначале посчитаем выражение в скобках, а потом умножим его на множитель перед скобками, то получим
тот же результат:
160 - 4∙(20 - 5 - 3) = 160 - 4∙12 = 160 - 48 = 112
3. Раскрытие скобок с делимым перед ними.
Если делить стоит перед скобками, то вначале надо вычислить выражение
в скобках, и только после этого поделить делимое на выражение в скобках.
Пример:
2 + 20:(3+2) = 2 + 20:5 = 2 + 4 = 6
4. Раскрытие скобок с делителем после них
Если делитель стоит после скобок, то можно или вначале вычислить выражение в скобках, а потом поделить его на делитель, или каждый элемент в скобках поделить на делитель
Пример:
15 + (30 + 18):6 = 15 + 48:6 = 15 + 8 = 23
или
15 + (30 + 18):6 = 15 + 30:6 + 18:6 = 15 + 5 + 3 = 23
5. Вынесение общего множителя за скобки
5∙6 + 5∙4 = 30 + 20 = 50
или
5∙6 + 5∙4 = 5∙(6 + 4) = 5∙10 = 50
6. Вынесение общего делителя за скобки
25:5 + 35:5 = 5 + 7 = 12
или
(25 + 35):5 = 60:5 = 12
7. Представление одного числа в виде суммы или разности других чисел
13∙11 + 12∙2
Можно решить напрямую, вычислив два произведения:
13∙11 + 12∙2 = 143 + 24 = 167
или представим 12 как 13-1
13∙11 + (13 – 1)∙2 = 13∙11 + 13∙2 – 2 = 13 (11 + 2) – 2 = 13∙13 – 2 = 169 - 2 = 167
другой пример:
16∙20 + 22∙17
Представим 22 как 20 + 2
16∙20 + 17∙(20 + 2) = 16∙20 + 17∙20 + 17∙2
Вынесем 20 за скобки:
16∙20 + 17∙20 + 17∙2 = 20∙(16 + 17) + 34 = 20∙33 + 34 = 660 + 34 = 694
8. Разложение числа на множители
12∙14 + 18∙6 = 168 + 108 = 276
или представим 18 как 9∙2
12∙14 + 9∙2∙6 = 12∙14 + 9∙12 = 12(14 + 9) = 12∙23 = 276
1. 4875∙7 + 4875∙3 = 4875∙(7 + 3) = 4875∙10 = 48750
2. 952:17 - 442:17 = (952 - 442):17 = 510:17 = 30
3. 589∙23 + 589∙27 - 589∙40 = 589(23 + 27 - 40) = 589∙10 = 5890
4. 153∙241 - 199∙41 + 200 + 241∙46 = 241(153 + 46) + 200 - 199∙41 = 241∙199 + 200 - 199∙41 =
199(241 - 41) + 200 = 199∙200 + 200 = 200∙(199 + 1) = 200∙200 = 40000
5. 265∙222 - 360∙180 - 85∙260 + 138∙265 = 265(222 + 138) - 360∙180 - 85∙260 =
265∙360 - 360∙180 - 85∙260 =
360(265 - 180) - 85∙260 = 360∙85 - 85∙260 = 85(360 - 260) = 85∙100=8500
6. 384∙17 + 385∙19 + 386∙14 = 384∙17 + (384 + 1)∙19 + (384 + 2)∙14 =
384∙17 + 384∙19 + 19 + 384∙14 + 2∙14 =
384(17 + 19 + 14) + 19+ 28 = 384∙50 + 47 = 19200 + 47 = 19247
7. 576∙242 + 121∙108 - 210∙711 = 576∙242 + 121∙2∙54 - 210∙711 =
576∙242 + 242∙54 - 210∙711 = 242(576 + 54) - 210∙711 =
242∙630-210∙711 = 242∙630 - 210∙3∙237 = 242∙630 - 630∙237=
630(242 - 237) = 630∙5 = 3150
8. То самое выражение из начала нашего урока
500 + 399∙242 – (788 - 402∙260) = 500 + 399∙242 – 788 + 402∙260 =
500 + 399∙242 - 2∙394 + (399 + 3)∙260 =
500 + 399∙242 - 2∙(399 – 5) + 399∙260 + 260∙3 =
500 + 399∙242 - 2∙399 + 10 + 399∙260 + 260∙3 =
500 + 399∙(242 – 2 + 260) + 10 + 780 =
500 + 399∙500 + 790 = 500(1 + 399) + 790 = 500∙400 + 790 = 20790
500 + 399∙242 – (788 - 402∙260)
Для вычисления такого рода выражений существуют специальные приёмы, которые мы рассмотрим вначале на простых примерах, а потом на сложных.
1. Раскрытие скобок
Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобки можно просто убрать
2 + 8 + (5 - 4) = 2 + 8 + 5 - 4
Если перед скобкой стоит знак минус, то при раскрытии скобок знаки в скобках заменяются на противоположные - минус меняется на плюс, а плюс (или отсутствие знака, если число стоит первым в скобках) - на минус.
2 + 8 - (10 - 4 + 3) = 2 + 8 - 10 + 4 - 3
Проверим, что левая и правая части равны. Выражение в скобках (10 - 4 + 3) в левой части равно 9.
2 + 8 - 9 = 1
Выражение в правой части тоже равно 1
Таким образом, правило, что в случае минуса перед скобкой знаки внутри скобок меняются на противоположные, работает верно.
Хотите, чтобы ваш ребёнок обучался самостоятельно?
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС
2. Раскрытие скобок с множителем перед ними.
Если перед скобкой есть множитель, то перед раскрытием скобок надо или вычислить выражение в скобках и умножить его на множитель, или множитель умножить на каждый элемент в скобках.
Пример:
12 + 3∙(15 - 2 + 6) = 12 + 3∙19 = 12 + 57 = 69
Или же выражение мы можем записать так:
12 + 3∙15 - 3∙2 + 3∙6 = 12 + 45 - 6 + 18 = 69
Мы получили тот же результат - 69, что и в первом случае.
Если перед скобками стоит минус и у скобок есть множитель, то правило, что при раскрытии скобок знаки внутри скобок меняются на противоположные, сохраняется.
Пример:
160 - 4∙(20 - 5 - 3) = 160 - 4∙20 + 4∙5 + 4∙3 = 160 - 80 + 20 + 12 = 112
Если мы вначале посчитаем выражение в скобках, а потом умножим его на множитель перед скобками, то получим
тот же результат:
160 - 4∙(20 - 5 - 3) = 160 - 4∙12 = 160 - 48 = 112
3. Раскрытие скобок с делимым перед ними.
Если делить стоит перед скобками, то вначале надо вычислить выражение
в скобках, и только после этого поделить делимое на выражение в скобках.
Пример:
2 + 20:(3+2) = 2 + 20:5 = 2 + 4 = 6
4. Раскрытие скобок с делителем после них
Если делитель стоит после скобок, то можно или вначале вычислить выражение в скобках, а потом поделить его на делитель, или каждый элемент в скобках поделить на делитель
Пример:
15 + (30 + 18):6 = 15 + 48:6 = 15 + 8 = 23
или
15 + (30 + 18):6 = 15 + 30:6 + 18:6 = 15 + 5 + 3 = 23
5. Вынесение общего множителя за скобки
5∙6 + 5∙4 = 30 + 20 = 50
или
5∙6 + 5∙4 = 5∙(6 + 4) = 5∙10 = 50
6. Вынесение общего делителя за скобки
25:5 + 35:5 = 5 + 7 = 12
или
(25 + 35):5 = 60:5 = 12
7. Представление одного числа в виде суммы или разности других чисел
13∙11 + 12∙2
Можно решить напрямую, вычислив два произведения:
13∙11 + 12∙2 = 143 + 24 = 167
или представим 12 как 13-1
13∙11 + (13 – 1)∙2 = 13∙11 + 13∙2 – 2 = 13 (11 + 2) – 2 = 13∙13 – 2 = 169 - 2 = 167
другой пример:
16∙20 + 22∙17
Представим 22 как 20 + 2
16∙20 + 17∙(20 + 2) = 16∙20 + 17∙20 + 17∙2
Вынесем 20 за скобки:
16∙20 + 17∙20 + 17∙2 = 20∙(16 + 17) + 34 = 20∙33 + 34 = 660 + 34 = 694
8. Разложение числа на множители
12∙14 + 18∙6 = 168 + 108 = 276
или представим 18 как 9∙2
12∙14 + 9∙2∙6 = 12∙14 + 9∙12 = 12(14 + 9) = 12∙23 = 276
ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.
Применение этих методов для более сложных примеров
1. 4875∙7 + 4875∙3 = 4875∙(7 + 3) = 4875∙10 = 48750
2. 952:17 - 442:17 = (952 - 442):17 = 510:17 = 30
3. 589∙23 + 589∙27 - 589∙40 = 589(23 + 27 - 40) = 589∙10 = 5890
4. 153∙241 - 199∙41 + 200 + 241∙46 = 241(153 + 46) + 200 - 199∙41 = 241∙199 + 200 - 199∙41 =
199(241 - 41) + 200 = 199∙200 + 200 = 200∙(199 + 1) = 200∙200 = 40000
5. 265∙222 - 360∙180 - 85∙260 + 138∙265 = 265(222 + 138) - 360∙180 - 85∙260 =
265∙360 - 360∙180 - 85∙260 =
360(265 - 180) - 85∙260 = 360∙85 - 85∙260 = 85(360 - 260) = 85∙100=8500
6. 384∙17 + 385∙19 + 386∙14 = 384∙17 + (384 + 1)∙19 + (384 + 2)∙14 =
384∙17 + 384∙19 + 19 + 384∙14 + 2∙14 =
384(17 + 19 + 14) + 19+ 28 = 384∙50 + 47 = 19200 + 47 = 19247
7. 576∙242 + 121∙108 - 210∙711 = 576∙242 + 121∙2∙54 - 210∙711 =
576∙242 + 242∙54 - 210∙711 = 242(576 + 54) - 210∙711 =
242∙630-210∙711 = 242∙630 - 210∙3∙237 = 242∙630 - 630∙237=
630(242 - 237) = 630∙5 = 3150
8. То самое выражение из начала нашего урока
500 + 399∙242 – (788 - 402∙260) = 500 + 399∙242 – 788 + 402∙260 =
500 + 399∙242 - 2∙394 + (399 + 3)∙260 =
500 + 399∙242 - 2∙(399 – 5) + 399∙260 + 260∙3 =
500 + 399∙242 - 2∙399 + 10 + 399∙260 + 260∙3 =
500 + 399∙(242 – 2 + 260) + 10 + 780 =
500 + 399∙500 + 790 = 500(1 + 399) + 790 = 500∙400 + 790 = 20790
Дата публикации
Задачи раздела:
Во дворе ходят курочки и козочки, у всех вместе 44 ноги и 14 голов.
Сколько курочек и козочек ходят во дворе?
