Тест на уровень знаний
Подберите задачи для теста по своим критериям.
Вступительные экзамены в физматшколы
Вступительные экзамены в 5-й класс физматшкол Петербурга и Москвы за разные годы.
Хотите больше материалов по математике?
Курс по подготовке ребёнка к поступлению в 5-е классы престижных школ и к олимпиадной
математике.
Стоимость:
1 990 руб.
1 990 руб.
16 часов
видео
видео
Набор задач для самостоятельного решения
Видеоматериал, где подробно рассказывается, как решать задачи по следующим темам:
- Задачи на движение
- Уравнения и решение задач с помощью уравнений
- Системы уравнений и решение задач с помощью систем уравнений
- Периметр, площадь и объём фигур
- Упрощение выражений
- Множества
- Чет-нечет
- Задачи, связанные с календарём
- Свойства чисел
- Части
- Ряды
- Распилы
- Разрезание геометрических фигур
- Комбинаторика
- Взвешивание и переливание
Решение задач на разрезание фигур
Показываем на примерах, как в 4-5 классе решать задачи на разрезание фигур.
Задача 1
Разрежьте данную фигуру на три равные части. Линии разреза должны проходить по сторонам клеток.
Решение
Проведём границы красной линией:
Закрасим фигуры:
Задача 2
Составьте внутри этой фигуры 4 фигуры, равные по форме. Границы фигур должны проходить по границам клеток.
Решение
Задача 3
Разрежьте эту фигуру на 4 равные части так, чтобы их границы совпадали с границами клеток. Придумайте два варианта.
Решение
Два варианта:
Задача 4
Разрежьте прямоугольник на две равные части по линиям сетки так, чтобы в каждой из частей был кружок.
Решение
Задача 5
Разрежьте фигуру на 4 равные по площади фигуры. Разрезать можно не только по границам клеток, но и по их диагоналям.
Решение
Задача 6
Разрежьте прямоугольник 4 x 9 по линиям сетки на две части так, чтобы из двух получившихся частей можно было сложить квадрат.
Решение
Если правую часть прямоугольника теперь поместить под левую, то как раз получится квадрат:
Задача 7
Разрежьте эту фигуру на 5 одинаковых по форме фигур так, чтобы в каждой фигуре было по 1 кружку. Разрез должен проходить по границам клеток.
Решение
Задача 8
На листке бумаги в клеточку Лунтик нарисовал квадрат 10 × 10, а затем вырезал его и срезал угловые квадратики. Как Лунтику разрезать получившуюся фигуру на прямоугольники 1×2?
Решение
У Лунтика получилась вот такая фигура.
Нам надо разделить ее на прямоугольники 1×2, т. е. получить фигуры, состоящие из 2 клеточек.
Как мы можем заметить в каждой строке четное количество клеток. Поэтому проще всего разрезать фигуру по горизонтали на нужные нам прямоугольники.
Эта задача очень легкая, ее можно решить и другими способами, разрезав фигуру по вертикале или в разнобой. Но мы воспользуемся сначала разрезанием на более большие фигуры, которые будут включать в себя прямоугольники 1×2. Это будут вертикальные полоски слева и справа с размерами 1×8 и остальные полоски с размером 1×10. Этот метод поможет в решении более сложных задач на разрезание фигур.
Задача 9
Мила из бумаги в клеточку вырезала квадрат со стороною в 8 клеточек. Затем она вырезала из середины одну клеточку и у нее получилась вот такая фигура. Получится ли теперь у Милы разрезать эту фигуру на уголки из 3 клеточек?
Решение
Эта задача более сложная, здесь если разрезать в свободном порядке, то скорее всего останется фигура, которую нельзя будет разрезать на 3-х клеточные уголки. Чтобы решить эту задачу давайте сначала разобьем фигуру на более мелкие части, которые режутся на 3-х клеточные уголки. Такой фигурой будет прямоугольник 2 × 3.
У нас остался квадрат 2×2 в середине, из которого Мила вырезала один квадратик, то есть у нас остался уголок из 3-х клеток.
Задача 10
Кузя вырезал из бумаги в клеточку квадрат 5×5. Помогите Кузе из этого квадрата вырезать семь разных прямоугольников, резать можно только по клеточкам.
Решение
Для начала давайте посмотрим какие прямоугольники могут поместится у нас в квадрате 5×5. Начнем с самых маленьких, это будет прямоугольники состоящий из одной, двух, трех и т. д. клеток:
Прямоугольник 1×6 у нас не поместится в квадрате 5×5, поэтому мы можем взять из 6 клеток только прямоугольник
Эта подборка из 7 прямоугольников состоит из 25 клеток и теоретически может поместится в нашем квадрате 5×5. Давайте попробуем разместим их в квадрате, начнем с самых больших.
Задача 11
Разделите квадрат 4 × 4 на равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеточек, но части разных способов разрезания должны быть различны. Нарисуйте все возможные решения.
Решение
Легко получить несколько способов разрезания квадрата на равные части, загвоздка заключается в том, чтобы найти все возможные решения. Чтобы не потерять решение можно разрезать симметрично с двух сторон и придерживаться такого условия, что если можно разрезать двумя или более способами, то их тоже надо сразу учитывать, то есть использовать принцип разветвления на несколько дорожек.
У нас существует только 2 способа изначального разрезания (на рисунке показано красным цветом).
По первому варианту у нас два возможных маршрута прямо или влево.
А по второму маршруту у нас 3 способа разрезания. Первый прямо, второй вправо и третий влево.
Таким способом у нас получилось 6 способов решения:
Задача 12
Пчеленок вырезал из бумаги в клетку квадрат 8 × 8 и срезал две противоположные угловые клетки. Может ли он вырезать из этой фигуры прямоугольники 1 × 2 по линиям клеток?
Решение
В отличие от восьмой задачи, у нас так легко не получится разделить данную фигуру на прямоугольники 1 × 2, и после нескольких неудачных попыток нам захочется доказать, что это сделать невозможно. Давайте попробуем доказать это методом от противного. У нас есть 62 клетки (64-2=62). И следовательно, если фигуру возможно разрезать на прямоугольники 1 × 2, то их будет 31 штука (62:2=31). В решении этой задачи давайте воспользуемся шахматной раскраской. Теперь каждый наш прямоугольник 1 × 2 состоящий из 2-х клеток, как бы мы их не разрезали, содержит в себе одну белую и одну черную клетку.
Следовательно, если фигуру возможно разрезать на прямоугольники 1 × 2, то 31 прямоугольник будет содержать 31 белую и 31 черную клетки. Но у нас получилось 30 белых и 32 черных клетки. Следовательно, мы доказали методом от обратного, что невозможно вырезать из этой фигуры прямоугольники 1 × 2 по линиям клеток, так как 31 не равно 30 и 32 клеткам.
Ответ: Нельзя.
Разрежьте данную фигуру на три равные части. Линии разреза должны проходить по сторонам клеток.
Решение
Проведём границы красной линией:
Закрасим фигуры:
Хотите, чтобы ваш ребёнок обучался самостоятельно?
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС
Задача 2
Составьте внутри этой фигуры 4 фигуры, равные по форме. Границы фигур должны проходить по границам клеток.
Решение
Задача 3
Разрежьте эту фигуру на 4 равные части так, чтобы их границы совпадали с границами клеток. Придумайте два варианта.
Решение
Два варианта:
Задача 4
Разрежьте прямоугольник на две равные части по линиям сетки так, чтобы в каждой из частей был кружок.
Решение
ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.
Задача 5
Разрежьте фигуру на 4 равные по площади фигуры. Разрезать можно не только по границам клеток, но и по их диагоналям.
Решение
Задача 6
Разрежьте прямоугольник 4 x 9 по линиям сетки на две части так, чтобы из двух получившихся частей можно было сложить квадрат.
Решение
Если правую часть прямоугольника теперь поместить под левую, то как раз получится квадрат:
Задача 7
Разрежьте эту фигуру на 5 одинаковых по форме фигур так, чтобы в каждой фигуре было по 1 кружку. Разрез должен проходить по границам клеток.
Решение
Задача 8
На листке бумаги в клеточку Лунтик нарисовал квадрат 10 × 10, а затем вырезал его и срезал угловые квадратики. Как Лунтику разрезать получившуюся фигуру на прямоугольники 1×2?
Решение
У Лунтика получилась вот такая фигура.
Нам надо разделить ее на прямоугольники 1×2, т. е. получить фигуры, состоящие из 2 клеточек.
Как мы можем заметить в каждой строке четное количество клеток. Поэтому проще всего разрезать фигуру по горизонтали на нужные нам прямоугольники.
Эта задача очень легкая, ее можно решить и другими способами, разрезав фигуру по вертикале или в разнобой. Но мы воспользуемся сначала разрезанием на более большие фигуры, которые будут включать в себя прямоугольники 1×2. Это будут вертикальные полоски слева и справа с размерами 1×8 и остальные полоски с размером 1×10. Этот метод поможет в решении более сложных задач на разрезание фигур.
Задача 9
Мила из бумаги в клеточку вырезала квадрат со стороною в 8 клеточек. Затем она вырезала из середины одну клеточку и у нее получилась вот такая фигура. Получится ли теперь у Милы разрезать эту фигуру на уголки из 3 клеточек?
Решение
Эта задача более сложная, здесь если разрезать в свободном порядке, то скорее всего останется фигура, которую нельзя будет разрезать на 3-х клеточные уголки. Чтобы решить эту задачу давайте сначала разобьем фигуру на более мелкие части, которые режутся на 3-х клеточные уголки. Такой фигурой будет прямоугольник 2 × 3.
У нас остался квадрат 2×2 в середине, из которого Мила вырезала один квадратик, то есть у нас остался уголок из 3-х клеток.
Задача 10
Кузя вырезал из бумаги в клеточку квадрат 5×5. Помогите Кузе из этого квадрата вырезать семь разных прямоугольников, резать можно только по клеточкам.
Решение
Для начала давайте посмотрим какие прямоугольники могут поместится у нас в квадрате 5×5. Начнем с самых маленьких, это будет прямоугольники состоящий из одной, двух, трех и т. д. клеток:
Прямоугольник 1×6 у нас не поместится в квадрате 5×5, поэтому мы можем взять из 6 клеток только прямоугольник
Эта подборка из 7 прямоугольников состоит из 25 клеток и теоретически может поместится в нашем квадрате 5×5. Давайте попробуем разместим их в квадрате, начнем с самых больших.
Задача 11
Разделите квадрат 4 × 4 на равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеточек, но части разных способов разрезания должны быть различны. Нарисуйте все возможные решения.
Решение
Легко получить несколько способов разрезания квадрата на равные части, загвоздка заключается в том, чтобы найти все возможные решения. Чтобы не потерять решение можно разрезать симметрично с двух сторон и придерживаться такого условия, что если можно разрезать двумя или более способами, то их тоже надо сразу учитывать, то есть использовать принцип разветвления на несколько дорожек.
У нас существует только 2 способа изначального разрезания (на рисунке показано красным цветом).
По первому варианту у нас два возможных маршрута прямо или влево.
А по второму маршруту у нас 3 способа разрезания. Первый прямо, второй вправо и третий влево.
Таким способом у нас получилось 6 способов решения:
Задача 12
Пчеленок вырезал из бумаги в клетку квадрат 8 × 8 и срезал две противоположные угловые клетки. Может ли он вырезать из этой фигуры прямоугольники 1 × 2 по линиям клеток?
Решение
В отличие от восьмой задачи, у нас так легко не получится разделить данную фигуру на прямоугольники 1 × 2, и после нескольких неудачных попыток нам захочется доказать, что это сделать невозможно. Давайте попробуем доказать это методом от противного. У нас есть 62 клетки (64-2=62). И следовательно, если фигуру возможно разрезать на прямоугольники 1 × 2, то их будет 31 штука (62:2=31). В решении этой задачи давайте воспользуемся шахматной раскраской. Теперь каждый наш прямоугольник 1 × 2 состоящий из 2-х клеток, как бы мы их не разрезали, содержит в себе одну белую и одну черную клетку.
Следовательно, если фигуру возможно разрезать на прямоугольники 1 × 2, то 31 прямоугольник будет содержать 31 белую и 31 черную клетки. Но у нас получилось 30 белых и 32 черных клетки. Следовательно, мы доказали методом от обратного, что невозможно вырезать из этой фигуры прямоугольники 1 × 2 по линиям клеток, так как 31 не равно 30 и 32 клеткам.
Ответ: Нельзя.
Дата публикации
Задачи раздела:
У Пчеленка есть 5 фигур, состоящих из 4-х клеток, сможет ли он выложить из них прямоугольник 4×5? Фигуры можно поворачивать как хочется.
Сколькими способами Кузя может разрезать прямоугольник 3×4 на равные фигуры так, чтобы фигуры разных способов разрезания были различны? Разрезать можно только по сторонам клеток.
Квадратный торт с 10 розочками надо разрезать на 4 равных куска так, чтобы на первом была 1 розочка, на втором 2 розочки, на третьем 3 розочки и на четвертом 4 розочки. Нарисуйте, как это можно сделать.
Разрежьте квадрат со стороной 6 клеток на четыре равных фигуры так, чтобы звездочки были в каждой фигуре.
Мила нарисовала на бумаге в клетку квадрат 8 × 8 и закрасила на нем две фигуры (показаны на рисунке). Сколько способов есть полностью закрасить оставшуюся фигуру полосками 1×4?
Лунтик нарисовал на бумаге в клеточку квадрат 5×5 и вырезал из него центральный квадрат 3×3, у него осталась каемка, которую он разрезал на 4 одинаковых фигуры. Получится ли у него сложить квадрат из этих фигур?
Кузя вырезал квадрат из бумаги в клеточку 6 × 6 без одной угловой клетки и разрезал получившуюся фигуру на несколько одинаковых прямоугольников. Существует ли вероятность, что прямоугольников окажется не больше 8.
Кузя нашел 64 пазла в виде буквы «T». Он решил собрать из них большой квадрат. Скажите получится у него или нет сложить квадрат из всех этих пазлов? Пазлы можно поворачивать и переворачивать вот так:
Лунтик вырезал из бумаги в клеточку квадрат 8 × 8 и отрезал от него одну угловую клеточку. Помогите ему разрезать оставшуюся часть квадрата на уголки из трех клеток. Возможные виды уголков изображены на рисунке ниже.
