Задача: Сколько существует чётных пятизначных чисел с произведением цифр, равным 28?

Найдём возможные наборы цифр, удовлетворяющие заданному условию. Напомним, что число 28 делится на 2, 4, 14 и 7.


Вариант N1

Набор цифр в числе: 1, 1, 1, 7, 4

Буквами a, b, c и d обозначим цифры, стоящие на соответствующих разрядах числа.
Т.к. по условию задачи число должно быть чётным, то последнее, пятое число - или 2 или 4. Сначала рассмотрим вариант, когда в конце стоит 4.

Наше число: abcd4

Существует всего 4 способа комбинации цифр 1, 1, 1, 7, 4, так чтобы из набора цифр 1, 1, 1, 7, 4 получилось чётное число, произведение цифр которого равно 28:
Вот эти комбинации:

11174
11714
17114
71114

Вариант N2

Так как число должно быть чётным, а вариант, когда на конце стоит 4, мы уже рассмотрели, то остался вариант, когда на конце стоит 2.

Набор N2: 1, 7, 1, 2, 2

abcd2

При этом, так как у нас две двойки в наборе и две единицы, то для простоты расчётов рассмотрим отдельно варианты, когда первым разрядом стоит 1, 2 и 7.

Вместо разряда a поставим 1.

Наше число: 1bcd2

Количество вариантов заполнения второго разряда b – 3 (1, 7, 2)
Количество вариантов заполнения третьего разряда c – 2 (доступных цифр стало на одну меньше)
Количество вариантов заполнения четвёртого разряда d – 1

Общее число способов заполнения разрядов – 3∙2∙1= 6

Вариант N3

Используем тот же набор цифр 1, 7, 1, 2, 2, но на место первого разряда теперь ставим 2:

Наше число: 2abc2

Всего существует 3 способа заполнить разряды a, b, cцифрами 1, 1, 7:

21172
21712
27112

Вариант N4

Используем тот же набор цифр 1, 7, 1, 2, 2, но на место первого разряда теперь ставим 7:

Наше число: 7xxx2

Всего существует 3 способа заполнить разряды цифрами 1, 1, 2:

71122
72112
71212

Общее количество чётных пятизначных чисел, произведение которых равно 28:
4 + 6 + 3 + 3 = 16

Ответ: 16