Приобретайте наш курс по математике!

16 часов видео
Набор задач для самостоятельного решения
Главная | Математика | 4 класс | Совместная работа
Тест на уровень знаний
Подберите задачи для теста по своим критериям.
Вступительные экзамены в физматшколы
Вступительные экзамены в 5-й класс физматшкол Петербурга и Москвы за разные годы.
Хотите больше материалов по математике?
Курс по подготовке ребёнка к поступлению в 5-е классы престижных школ и к олимпиадной математике.
Стоимость:
1 990 руб.
16 часов
видео
Набор задач для самостоятельного решения
Видеоматериал, где подробно рассказывается, как решать задачи по следующим темам:
  • Задачи на движение
  • Уравнения и решение задач с помощью уравнений
  • Системы уравнений и решение задач с помощью систем уравнений
  • Периметр, площадь и объём фигур
  • Упрощение выражений
  • Множества
  • Чет-нечет
  • Задачи, связанные с календарём
  • Свойства чисел
  • Части
  • Ряды
  • Распилы
  • Разрезание геометрических фигур
  • Комбинаторика
  • Взвешивание и переливание

Задача: Две весёлых и четыре грустных обезьяны съедают ящик бананов за 30 минут

Методические материалы по теме:

Условие задачи

Две весёлых и четыре грустных обезьяны съедают ящик бананов за 30 минут, а две весёлых и одна грустная обезьяна съедают ящик бананов за 40 минут. Сколько времени одна весёлая обезьяна будет есть ящик бананов? (Все грустные обезьяны едят с одной скоростью, и все весёлые тоже с одной скоростью.) Это задача из вступительных экзаменов в 5-й класс ФМЛ 239, (Петербург), 2020-й год.
Раскрыть решение

Решение задачи:

Это простая задача, если решить её путём составления системы уравнений. Однако, это задача для учеников, заканчивающих 4-й класс, и предполагается, что про системы уравнений они скорее всего не знают, значит, задачу нужно решать другим путём.

Видеоразбор этой задачи вы можете посмотреть в этом видео, а если не хотите смотреть, то можете прочитать решение в текстовом виде.





Как показал наш опыт, подавляющее большинство взрослых, которым мы показывали эту задачу начинали примерно с таких рассуждений:

2В + 4Г -> 30 мин
2В + 1Г -> 40 мин


Тут В и Г – это весёлые и грустные обезьяны. Вместо знака равно мы ставим ->, так как это не уравнение – обезьян к минутам приравнивать нельзя.

Далее делается вывод, что если вычесть левую и правую части друг из друга, то получится что 3Г -> 10 мин, то есть три грустных обезьяны дают выигрыш в 10 минут (ведь по условию задачи у нас в обеих случаях скорость поедания бананов одинаковая). И далее с помощью этих десяти минут люди пытаются решить задачу и не получают верного ответа. Почему? Потому что с математической точки зрения скорость обезьян из первого уравнения выражена в других единицах, нежели чем скорость обезьян из вторых – и пока единицы измерения не будут приведены к одному виду, производить математические операции нельзя.

Сейчас я объясню подробнее, что имеется ввиду. Рассмотрим такой пример. Пусть у нас есть задача на движение, в которой сказано, что один автомобиль проехал 100 км за 2 часа, а другой – 200 км за 4 часа. Понятно, что скорости у них одинаковые = 50 км/ч. Но, пока мы не произвели деление 100 на 2 и 200 на 4, у нас у первого автомобиля скорость задана в двухчасовых интервалах, а у второго – в четырёхчасовых интервалах. (Мы можем ввести собственные единицы времени, назвать их, например, «дуочас», равный двум часам, и квадрочас, равный четырём часам. Тогда скорость первого автомобиля у нас будет 100 км/дуочас, а скорость второго – 200 км/квадрочас. Для того, чтобы скорости этих автомобилей могли участвовать в уравнениях, надо привести их к одинаковым единицам измерения – км/ч).

Теперь вернёмся к нашим обезьянам. Ранее мы записали вот такое соотношение:

2В + 4Г -> 30 мин
2В + 1Г -> 40 мин


В этом соотношении в явном виде скоростей поедания нет, но в неявном виде они присутствуют. И в первом выражении скорость поедания обезьян – это ящик/30 минут, а во втором – ящик/40 минут.

Да, у них одинаковые скорости в физическом смысле, но для их записи используются разные единицы измерения – ящик/30 минут и ящик/40 минут.

Напрашивается очевидный вариант решения – сделать так, чтобы обезьяны ели одинаковое количество времени. Пусть это будет наименьшее общее кратное для 30 и 40, то есть 120 минут.

При этом мы знаем, что если две весёлых и 4 грустных обезьяны за 30 минут съедают один ящик, то значит за 120 минут они съедят 4 ящика (120:30 = 4).
И если две весёлых и одна грустная за 40 минут съедают 1 ящик бананов, то за 120 минут они съедят 3 ящика (120:40 = 3).

То есть мы можем записать

2В + 4Г -> 4 ящика
2В + 1Г -> 3 ящика


И вот теперь мы уже с полным правом можем сказать, что три грустных обезьяны дают преимущество в 1 ящик, который они съедают за 120 минут. Теперь у нас в обеих уравнениях единица измерения скорости поедания – это ящик/120 минут, поэтому мы смело можем вычитать обезьян из левой части, а ящики из право.

Итак,

3Г -> 1 ящик

Если три грустных обезьяны съедают 1 ящик за 120 минут, значит одна грустная обезьяна будет есть ящик в три раза дольше, то есть 360 минут.
Если мы умеем работать с дробями, то дальше можно решить задачу в лоб, используя знание, что скорость поедания бананов у грустной обезьяны - 1/360 ящика в в минуту.

Однако, если в 4-м классе вы ещё незнакомы с дробями, то для решения этой задачки надо применить некоторую хитрость.

Итак, известно, что

2В + 1Г -> 3 ящика за 120 минут.

Таким образом, если увеличить число обезьян в три раза, то за то же самое время они съедят в три раза больше ящиков с бананами. То есть

6В + 3Г -> 9 ящиков за 120 минут

При этом, как мы вычислили ранее, три грустных обезьяны съедают один ящик за 120 минут. То есть без трёх грустных обезьян 6 весёлых обезьян съедят 8 ящиков за 120 минут. Мы специально увеличили число обезьян в три раза, чтобы у нас получилось 3 грустных обезьяны мы могли бы от них «избавиться», уменьшив число съеденных ящиков на 1.

Итак,
6В -> 8 ящиков за 120 минут

То есть одна весёлая обезьяна будет есть эти 8 ящиков в 6 раз дольше, то
есть 120∙6 = 720

1В -> 8 ящиков за 720 минут

Таким образом, если 8 ящиков одной весёлой обезьяной съедаются за 720 минут, то
1 ящик съедается за 720:8 = 90 минут.

Ответ: 90 минут

Эту задачу можно решить и вторым, более коротким способом.

Второй способ



Пусть В – скорость поедания бананов у весёлых обезьян, а Г – скорость поедания бананов у грустных обезьян, выраженная в ящиках/минута. Для того, чтобы узнать, сколько ящиков съедят обезьяны за заданное время, надо скорость поедания умножить на время.

В первом случае обезьяны ели 30 минут, во втором 40. Запишем:

30∙2В +30∙4Г = 1 - за 30 минут съели один ящик
40∙2В + 40∙1Г = 1 - за 40 минут съели один ящик

Обратите внимание, что тут у нас уже обычный знак равно, а не стрелочки, как в первом способе - так как тут и в левой и в правой части уравнений одинаковые сущности - ящики


Поскольку ящики одинаковые, то мы можем приравнять эти уравнения друг к другу:

40∙2В + 40Г = 30∙2В +30∙4Г
80В + 40Г = 60В + 120Г
20В = 80Г
В = 4Г


Скорость поедания ящика у одной весёлой обезьяны в 4 раза больше скорости поедания ящика одной грустной

Зная, что В = 4Г, запишем:

80∙4Г + 40∙Г = 1
360Г= 1


То есть одна грустная обезьяна будет есть ящик бананов 360 минут.
Так как скорость поедания у весёлой обезьяны в 4 раза выше, то она будет есть ящик 360:4 = 90 минут.

Ответ: 90 минут

Дата публикации
Методические материалы по теме
Задачи раздела:
Двое мальчиков катались на лодке. К берегу подошёл отряд солдат. Лодка так мала, что на ней могли переправляться двое мальчиков или только один солдат. Смогли ли солдаты переправиться через реку?
Землекоп роет канаву, а 4 хулигана, закидывая землей, зарывают её обратно. Когда землекоп закончил рыть первую канаву, он обнаружил, что хулиганы успели зарыть её обратно наполовину. Тогда землекоп ушёл рыть такую же точно канаву в другом месте, но начал работать в два раза быстрее. К несчастью для землекопа к группе хулиганов присоединились ещё 2 хулигана, и они продолжили зарывать первую канаву, пока землекоп докапывал вторую. Сколько ещё хулиганов должно присоединиться к группе, чтобы они смогли дозакапывать первую канаву и закапать полностью вторую, пока землекоп роет третью канаву со той же скоростью, с которой он рыл вторую?
На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить его за один день, а стадо из 37 слонов за 5 дней. За сколько дней выпьет озеро 1 слон?
На дне озера бьёт родник. Стадо из 163 слонов могло бы выпить озеро за 1 день, а стадо из 33 слонов — за 5 дней. За сколько дней выпьет озеро один слон?
В бассейн поступает вода из трубы. 1 слон выпивает бассейн за 4 дня, а 3 слона выпивают бассейн за 1 день. Сколько в день поступает в бассейн воды из трубы, если один слон в день выпивает 24 литра воды?
Два печника сложили печь за 16 ч. Известно, что первый из них, работая один, сложил бы печь за 24 ч. За сколько часов второй печник, работая один, сложил бы ту же печь?
Бассейн заполняется одной трубой за 5 часов, другая труба заполнит бассейн за 6 часов. В бассейне есть маленькая дырочка, через которую целый бассейн вытекает за 30 часов. За какое время бассейн наполнится двумя трубами, если дырочку не заделать?
В городе есть искусственный водоем. Одна из труб может заполнить его за 9 часов, вторая – за 15 часов, а поливочный шланг – за 45 часов. За сколько времени наполнится водоем, если открыть сразу две трубы и шланг.
Задачи на совместную работу обычно начинаются после 4 класса, и в большинстве случаев решаются с помощью дробей, которых дети в 4-м классе не знают. Однако, эти задачи часто встречаются на олимпиадах для 4-го класса и на вступительных экзаменах в 5-й класс физматшкол. Мы покажем, как эти задачи решать без дробей.
Зарегистрироваться